Study on influence of natural fractures on initiaition and propagation of hydraulic fracturing coal
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摘要:
水力压裂是提高低渗透高瓦斯煤层抽采效率和瓦斯产量的有效方法之一。由于煤层中存在丰富的天然裂缝，天然裂缝与水力裂缝相互作用会使水力裂缝的起裂和扩展形式呈现出复杂多样性，从而影响煤层的增透效果。为研究水力压裂煤在天然裂缝作用下的起裂和扩展规律，利用自主研发的多功能真三轴流固耦合试验系统开展了煤的水力压裂试验。基于“孔壁应力集中诱发拉伸破裂”理论研究了水力压裂煤的裂缝起裂规律，并结合断裂力学从细观角度揭示了水力压裂煤的裂缝扩展机制。研究结果表明：天然裂缝的存在会诱导水力裂缝沿着天然裂缝方向扩展，极大降低了煤岩的起裂压力。不含明显天然裂缝煤岩压裂所需的起裂压力与根据拉伸破坏起裂准则计算的理论起裂压力结果相近，符合“孔壁应力集中诱发拉伸破裂”准则；含明显天然裂缝煤岩压裂所需的起裂压力均小于根据拉伸破坏起裂准则计算的理论起裂压力，且当天然裂缝方向垂直于最小主应力方向时，所需的起裂压力较小，为3.355 MPa；当天然裂缝平行于最小主应力时，所需的起裂压力仅大于最小主应力，为7.902 MPa。水力裂缝类型为I型时，不含明显天然裂缝煤岩的实测最小和最大扩展压力值均大于理论计算最小和最大扩展压力值，差值范围分别为2.043～6.845 MPa和3.951～8.576 MPa；当煤岩含明显天然裂缝且天然裂缝方向平行于X方向时，水平应力差的存在将引起煤岩的实测扩展压力值小于理论计算的扩展压力值。水力裂缝类型为Ⅱ型或I-Ⅱ型时，随着水力裂缝长度的增加，裂缝扩展所需压力逐渐减小。
Abstract:Hydraulic fracturing is one of the effective methods to improve the extraction efficiency and gas production of low-permeability coal seams with high gas content. Due to the existence of abundant natural fractures in the coal seam, the interaction between natural fractures and hydraulic fractures will make the initiation and propagation of hydraulic fractures show complexity and diversity, thereby affecting the effect of permeability enhancement of coal seam. In order to study the initiation and propagation of hydraulic fractured coal under the action of natural fractures, hydraulic fracturing tests on coal were carried out by using the self-developed multifunctional true triaxial fluid-solid coupling test system. Based on the theory of “pore wall stress concentration induced tensile fracture”, the fractures initiation law of hydraulic fractured coal was studied, and combined with fracture mechanics, the fracture propagation mechanism of hydraulic fractured coal was revealed from a mesoscopic perspective. The results shown that, the presence of natural fractures can induce hydraulic fractures to propagate along the direction of natural fractures, which greatly reduced the initiation pressure of coal. The required fracture initiation pressure for fracturing coal without obvious natural fractures was similar to the theoretical initiation pressure calculated according to the initiation criterion of tensile failure, which met the criterion of “tensile fracture induced by stress concentration in hole wall”. The required fracture initiation pressure for fracturing coal with obvious natural fractures was all less than the theoretical fracture initiation pressures calculated according to the initiation criterion of tensile failure, and the required fracture initiation pressure was smaller when the natural fracture was perpendicular to the direction of the minimum principal stress, which was 3.355 MPa. When the natural fracture was parallel to the minimum principal stress, the required initiation pressure was only greater than the minimum principal stress, which was 7.902 MPa. When the hydraulic fracture type was type I, the measured minimum and maximum propagation pressure values of coal without obvious natural fractures were greater than the theoretically calculated minimum and maximum propagation pressure values, and the difference ranges were 2.043−6.845 MPa and 3.951−8.576 MPa, respectively. When the coal contained obvious natural fractures and the direction of the natural fractures was parallel to the X direction, the existence of horizontal stress difference will cause the measured propagation pressure value of coal to be less than the theoretically calculated propagation pressure value. When the hydraulic fracture was type II. or type I-II., the pressure required for fracture propagation gradually decreased with the increase of the hydraulic fracture length.
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Keywords:
- natural fractures /
- in-situ stress /
- hydraulic fracturing /
- cracks propagation /
- nanoindentation
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0. 引 言
水力压裂技术最早应用于石油天然气行业，其基本原理是通过体积改造的方式产生更多裂缝，为油气运移提供通道，改善目标储层的渗透性，达到高效抽采的目的[1]。由于我国大多数高瓦斯煤层透气性差，水力压裂常常被用于改善煤层渗透性，提高瓦斯抽采效率[2-3]。煤层瓦斯开采采用水力压裂技术主要有2个目的：一是扩展或生成裂缝并诱导水力裂缝沟通天然裂缝为煤层瓦斯的流动提供通道，二是煤层可以通过产生的复杂裂缝网络削弱和重新分布地应力[4]。在煤岩的水力压裂过程中，水力裂缝的形成与扩展以及水力裂缝与天然裂缝之间的互相作用，受到很多因素(如地应力、天然裂缝、支撑剂等)的影响。了解不同因素影响条件下水力裂缝的起裂扩展规律及裂缝间的干扰机制可为水力压裂增透煤层技术的改进提供一定的指导。研究表明，在应力加载条件下，水力压裂煤的断裂模式与无应力环境明显不同，生成裂隙网络的复杂程度也不同[5]。蔺海晓等[6]为了研究煤岩的水压致裂机理，利用MTS815.02电液伺服岩石力学试验系统对型煤试件和原煤试件进行了伪三轴水压致裂试验，结果表明，裂缝总是沿地应力最大的方向扩展，且裂缝表面特征对缝内压裂液的流动具有重要影响，但忽略了真三向应力对裂缝扩展的影响。为了研究真实地应力状态下煤岩的水力裂缝扩展机理，张帆等[7]采用大尺寸真三轴试验系统，通过剖切水力压裂后试样的方式描述了裂缝扩展及空间分布规律，分析认为地应力对裂缝扩展路径起决定性作用。
除地应力对水力裂缝的扩展有重大影响之外，还有研究表明层理面、天然裂缝和断层等不连续面对水力裂缝的延伸路径有显著影响[5,8]。ZHOU等[9]通过一系列三轴伺服系统研究了天然裂缝储层的水力裂缝扩展行为和裂缝几何形状，结果表明水力裂缝的几何形状主要受地应力和储层中天然裂缝的控制。HOU等[10]认为存在天然裂缝时，在不同试验条件下，压裂后试件内部可能形成径向、十字形、T形或纺锤形的裂缝网络，但试验对象是页岩。由于煤岩的物理力学性质与页岩相差较大，煤层内部含裂隙较多，通过页岩的水力压裂试验获得的水力裂缝扩展规律并不完全适用于煤岩。
关于煤岩水力压裂裂缝的起裂和扩展机理，目前应用最广泛的是“孔壁应力集中诱发拉伸破裂”理论，该理论由HUBBERT和WILLIS[11-12]率先提出，主要将水压作用和地应力作用转换为井筒的环向拉应力，当换算后的环向拉应力大于井壁抗拉强度时，岩体产生裂缝并破裂。同时，HUBBERT等还认为水力压裂产生的水力裂缝垂直于最小主应力方向，并向垂直最小主应力方向扩展。之后，ZHANG等[13]通过二维平面应变分析，基于固−液耦合水力裂缝模型，从最大主应力或中间主应力对裂缝起裂与扩展的作用出发，认为原始裂缝角度和数量会显著影响水力裂缝发展轨迹和井筒压力，从而影响起裂位置。JIANG等[14]根据线性叠加原理，得出水力压裂岩石的剪切破裂准则，并通过真三向水力压裂试验验证了该理论的正确性。DENG等[15]使用真三轴流固耦合试验系统，结合三点弯曲试验分析了流体压裂后裂缝的起裂扩展机理。水力压裂岩石的起裂和扩展机理的研究已经取得了部分研究成果，但大部分研究都是从宏观角度出发，得出宏观视角下流体压裂岩石的裂缝扩展机理。而煤岩中随机分布天然裂缝，且多种矿物成分与微裂隙的存在导致煤岩各处力学性质存在差异，从而直接影响天然裂缝的扩展，因此仅从宏观角度分析流体的压裂扩展规律难以深入全面地阐述煤岩水力裂缝的起裂和扩展机理。
鉴于此，笔者拟在现有起裂模型的基础上，考虑真三向应力下天然裂缝对水力裂缝起裂和扩展的影响。结合水力压裂试验和纳米压痕试验，在从宏观视角获得的扩展准则的基础上进行改进，推导真三向应力条件下煤岩的细观扩展准则，探讨真三向应力下天然裂缝结构对煤岩裂缝形态及延伸扩展的影响，从宏−细观角度阐述水力裂缝的起裂机制和扩展规律，从理论上为水力裂缝的起裂和扩展规律及非常规天然气气藏的水力压裂施工效果评估提供思路。
1. 水力压裂试验
1.1 试件制备
试验所用煤岩取自中国贵州省毕节市某煤矿。煤岩经除去风化岩层后加工成2组试件。一组为直径10 mm、高5 mm的圆柱形试件，共有2个，分别用于电镜扫描和纳米压痕试验。另一组为100 mm×100 mm×100 mm的正方体试件，共有6个，用于进行水力压裂试验。
纳米压痕试验要求试样具有较高的平整度和光滑度，为了提高试验的准确性，预先对纳米压痕试样进行切割、打磨和抛光处理，最后用乙醇将试样表面清洗干净。
为了获得水力压裂试验所用煤样，利用外径为10 mm的金刚钻在试件中心平行层理方向钻取深度为50 mm的圆孔模拟水平井井筒，采用长度65 mm，外径10 mm，内径9.8 mm的高强度的钢管模拟裸眼井套管，利用橡胶圈将套管与试验压头密封，试验所用最终煤样和井筒密封示意图如图1所示。为了保证试验数据的准确性，在试验前对所有煤样进行了封闭性测试。
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图 1 试验用煤样和井筒密封示意Figure 1. Coal samples for testing and schematic of well-bore sealing1.2 试验设备
试验在重庆大学自主研发的多功能真三轴流固耦合试验系统[16]上进行，试验装置如图2所示。多功能真三轴流固耦合试验系统主要由框架式机架、真三轴压力室、加载系统、内密封渗流系统、控制和数据测量及采集系统等组成。此设备能在高三维荷载和高注入水压条件下完成水力压裂试验。
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图 2 多功能真三轴流固耦合试验系统Figure 2. Multifunctional true triaxial fluid structure coupling experimental apparatus1.3 试验方案
试验设计主要考虑真三向应力下天然裂缝网络对煤水力压裂后裂缝起裂和扩展规律的影响。为了模拟水平井压裂，所有试件井筒方向修正为平行层理方向，修改后的应力设计如图3所示。定义X方向施加中间主应力模拟垂向应力，记为σx方向应力，Y方向和Z方向施加最大主应力和最小主应力模拟水平应力，分别记为σy和σz方向应力。压裂液采用清水。
为了准确得出天然裂缝对煤样压裂后水力裂缝起裂和扩展的影响，在压裂前对煤样进行CT扫描，设定含0.3 mm以上宽度裂缝的煤样为含明显天然裂缝煤样，反之为不含明显天然裂缝煤样，如图4所示(图4展示了煤样A2-1压裂前的代表性CT扫描图)。通过CT扫描切片选出2组6个煤样，一组煤样含有明显天然裂缝(试件编号分别为A2-1，A2-2，A2-3)，一组煤样不含明显天然裂缝(试件编号分别为A1，A2，A3)。为研究天然裂缝对水力压裂煤起裂扩展规律的影响，结合取样煤矿实际情况和试验仪器的功能，本文设计的试验方案见表1。
表 1 真三向水力压裂试验参数Table 1. True three-dimensional hydraulic fracturing test parameters试件编号 σx/MPa σy/MPa σz/MPa 水平地应力
差异系数k压裂液 A1 7.2 9 4.8 0.5 清水 A2 9.6 12 6.4 0.5 A2-1 9.6 12 6.4 0.5 A2-2 9.6 12 6.4 0.5 A2-3 9.6 12 6.4 0.5 A3 12.0 15 8.0 0.5 注：水平地应力差异系数$k=\left(\sigma_x-\sigma_{\textit{z}}\right) / \sigma_{\textit{z}} $。 按照规定的试验步骤装好试件。在试验测试期间，为了避免三向应力的不平衡加载，以力控制2 kN/s的速度同步施加三向压力，将三向应力加载至3 MPa，之后以1 kN/s的速度分别将三向应力施加到设计值，保持三向应力的稳定；然后将水以恒定的速度注入煤样以控制水压大小，直至煤样压裂后停止试验。注入速度取值时考虑煤样的大小以及煤样天然裂缝造成压裂液的流失，设置为60 mL/min。
2. 试验结果与分析
2.1 扫描电镜试验结果
图5为不同放大倍数下的煤样电镜扫描图。从图5可看出，同一环境下，煤样含有多种矿物成分，不同的矿物成分其电镜扫描的灰度不同，其中：硅酸盐矿物(如石英)主要呈现浅灰色；有机质主要呈现深黑色；孔隙空间(如孔和微裂缝)主要呈现黑色[17]。从电镜扫描图中还可以观测到煤样的微裂隙和孔隙较为发达，当受到一定拉伸应力作用时会产生断裂现象。
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图 5 不同放大倍数下煤样的孔结构电镜扫描结果Figure 5. SEM images showing pore structure of coal sample at different magnifications2.2 纳米压痕试验结果
纳米压痕所用设备为Hysitron公司制造的原位纳米力学测试设备(型号：TI−950)。根据试验产生的压痕轮廓，得到纳米压痕荷载−深度曲线[18-20]。根据式(1)和式(2)可计算微观折算模量和断裂韧度：
$$ E_{\mathrm{r}}=S \sqrt{{\text{π}}} /\left(2 \eta \sqrt{A_{\mathrm{c}}}\right)$$ (1) $$K_{\mathrm{IC}}=\sqrt{\frac{U_{\mathrm{c}}}{A_{\mathrm{c}}} E_{\mathrm{r}}} $$ (2) $$ S=B m\left(h_{\mathrm{max}}-h_{\mathrm{f}}\right)^{{m}-1}$$ (3) $$ U_{\mathrm{c}}=\frac{F_{\mathrm{max}}\left({h}_{\mathrm{max}}+{h}_{\mathrm{k}}\right)}{2}-\int_0^{h_{\mathrm{max}}} F_{\mathrm{n}} {\mathrm{d}} h$$ (4) 式中：Er为折算模量，GPa；S为接触刚度(由式(3)计算获得)；η为与压头形状有关的常数，此处η=1.034；Ac为纳米压痕试验的接触投影面积，nm2； KIC为岩石的断裂韧度；Uc为纳米压痕试验产生的断裂能(由式(4)获得)；常数B与m是通过拟合卸载曲线确定的；hmax为峰值深度，nm；hf为卸载后的永久压痕深度，nm； Fmax为峰值荷载，mN； hk为荷载保持阶段引起的蠕变深度，nm；Fn为加载及饱载段的荷载，mN。
本文相关的纳米压痕试验测点选择的是较为平整的区域，采用的是3×3的点阵，为了保证纳米压痕点阵中的各点互不影响，选择较大的20 μm作为压痕间距，得到的压痕−位移曲线如图6所示（n1～n9为压点编号）。由图6可知，在相同的峰值荷载下，不同测试位置位移不一样，获得的力学参数存在差异；不同点的加载速度和卸载速度略微不同(曲线斜率)，但无论是在加载阶段还是卸载阶段，都呈现压痕深度(位移)快速增加然后减少的规律。表2中列举了同一试件不同点的弹性模量和断裂韧度。从表2可以看出，同一试件不同点，最大弹性模量为8.53 GPa，最小弹性模量为3.97 GPa，平均弹性模量为5.63 GPa；最大断裂韧度是1.19 MPa·m1/2，最小断裂韧度是0.61 MPa·m1/2，平均断裂韧度是0.83 MPa·m1/2。细观视角下，煤样断裂韧度的计算为后文对比分析含明显天然裂缝和不含明显天然裂缝煤样的扩展规律提供了计算依据。
2.3 水力压裂试验结果
关于煤岩水力压裂裂缝的起裂和扩展机理，目前应用最广泛的是“孔壁应力集中诱发拉伸破裂”理论[21]。当裂缝沿井筒轴向起裂时，即θ为0°或180°时，煤岩水力压裂的起裂准则为
$$ P_{\mathrm{w}}=3 \sigma_{{\textit{z}}}-\sigma_{{x}}+\sigma_{\mathrm{t}} $$ (5) 式中：Pw为流体压力；σz为最小水平主应力；σx为最大水平主应力；σt为储层岩石的抗拉强度。
表 2 纳米压痕试验相关数据Table 2. Nanoindentation test related data压点编号 弹性模量Er/GPa 断裂韧度KIC/（MPa·m1/2) n1 7.04 0.97 n2 5.64 0.80 n3 4.96 0.73 n4 4.58 0.91 n5 4.04 0.61 n6 3.97 0.60 n7 8.53 1.19 n8 5.66 0.76 n9 6.23 0.89 本文对2组煤样在压裂过程中的流体压力进行了实时监测，其流体压力随时间的变化曲线如图7所示。由图7不难发现，随着压裂液的缓慢注入，压裂液逐渐注满钻孔，在钻孔底部开始形成憋压，引起水压快速上升，当水压超过煤样所能承受的压力后，煤样破裂，水压快速下降，最后趋近平缓。以A1试件为例，在650 s时，水压快速上升到9.651 MPa，此时，试件没有完全破坏，还有一定的承载能力，继续向煤样内部注入水，裂缝扩展，曲线呈现“波动”现象，分析认为当水压超过试件的极限承载能力时，试件完全破坏，即水压曲线快速下降，最后水压曲线不再降低，压裂液从试件内部流出。
表3列出了2组煤样经水力压裂后的起裂压力试验值和根据拉伸破坏起裂准则计算的起裂压力预测值。ISHIDA等[22]认为，在水力压裂过程中，岩石的实测起裂压力一般大于拉伸破坏起裂准则的预测值。根据试验研究发现，在本文煤样水力压裂试验中，对于不含明显天然裂缝的煤样（试件A1、A2和A3），其起裂压力符合这种规律；但在煤样(试件A2-1、A2-2和A2-3)存在较明显的天然裂缝时，水力压裂起裂压力实测值远低于根据拉伸破坏起裂准则预测的最小起裂压力。根据图7和表3可知，相同应力条件下，四个不同煤样的实测起裂压力分别是15.845、3.355、3.904和7.902 MPa，其中，含明显天然裂缝煤样(试件A2-1、A2-2和A2-3)的实测起裂压力均小于其预测最小起裂压力11.111 MPa，其差值范围为−3.209～−7.756 MPa；不含明显天然裂缝煤样(试件A2)的实测起裂压力大于预测最小起裂压力，差值为4.734 MPa，由此可以看出含明显天然裂缝煤样所需起裂压力远小于不含明显天然裂缝煤样起裂所需压力，其相差压力最小为7.943 MPa，最大12.49 MPa。
表 3 煤样水力压裂起裂压力值和拉伸破坏起裂准则的预测值Table 3. Value of coal hydraulic fracturing initiation pressure and predicted value of tensile failure initiation criterion试件编号 σx, σy, σz/MPa 抗拉强度
σt/MPa实测起裂
压力/MPa预测最大起
裂压力/MPa实测起裂压力与预测
最大起裂压力差值/MPa预测最小起
裂压力/MPa实测起裂压力与预测
最小起裂压力差值/MPaA1 7.2, 9, 4.8 σt,max =2.596
σt,min =1.5119.651 9.796 −0.145 8.711 0.940 A2 9.6, 12, 6.4 σt,max =2.596
σt,min =1.51115.845 12.196 3.649 11.111 4.734 A2-1 9.6, 12, 6.4 σt,max =2.596
σt,min =1.5113.355 12.196 −8.841 11.111 −7.756 A2-2 9.6, 12, 6.4 σt,max =2.596
σt,min =1.5113.904 12.196 −8.292 11.111 −7.207 A2-3 9.6, 12, 6.4 σt,max =2.596
σt,min =1.5117.902 12.196 −4.294 11.111 −3.209 A3 12, 15, 8 σt,max =2.596
σt,min =1.51114.430 14.596 −0.166 13.511 0.919 2.4 天然裂缝对水力压裂煤起裂及扩展规律的影响
2.4.1 天然裂缝对水力压裂煤起裂规律的影响
为了探究导致煤岩的实测起裂压力小于其预测最小起裂压力的具体原因，对压裂前和压裂后的煤样进行照片拍摄。在压裂前，编号为A2-1、A2-2和A2-3的3个试件都含有较明显的天然裂缝。其中，试件A2-1和A2-2所含的天然裂缝贯穿了整个煤样。从Y+方向看，试件A2-1的贯穿裂缝距离钻孔边缘仅11 mm(试样边长100 mm，图8)。以试件A2-1为例，结合试件A2-1压裂前的CT扫描图(图4)和试样压裂前后的宏观图可知(图8)，压裂前，煤样A2-1内部的天然裂缝已经连接了模拟井筒，当向井筒内注入水时，随着水压的增高，水压曲线出现波动，裂缝沿着最有利于破坏的结构面延伸，当水压达到3.355 MPa时，试件产生破裂，压裂值小于根据拉伸破坏起裂准则计算的最小起裂压力值11.111 MPa。
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图 8 试件A2-1压裂前和压裂后宏观图片Figure 8. Macroscopic images of specimen A2-1 before and after fracturing同理，对于试件A2-3，试件中存在肉眼可见的天然裂缝，如图9所示。图9中可以看到Z+面存在4条交叉裂缝，向模拟井筒中注入压裂液时，裂缝沿着最有利于破坏的结构面延伸，其实测起裂压力为7.902 MPa，小于根据拉伸破坏起裂准则计算的最小起裂压力值11.111 MPa，在垂直于最小主应力方向产生了1条“单个横向裂缝”，这种现象与HUBBERT和WILLIS等[11-12]的试验现象一致。
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图 9 试件A2-3压裂前和压裂后宏观图片Figure 9. Macroscopic images of specimen A2-3 before and after fracturing从试件的宏观俯视图(Y+方向)可以看出，试件A2-1(试件A2-2的受力方向与A2-1一致)施加的最小主应力方向垂直于天然裂缝方向，试件A2-3施加的最小主应力方向平行于天然裂缝。结合图8、图9和表3可以看出，当最小主应力垂直于天然裂缝时，所需的起裂压力较小，为3.355 MPa，仅大于水平应力差3.2 MPa；当最小主应力平行于天然裂缝时，所需的起裂压力为7.902 MPa，大于最小主应力6.2 MPa；当试件相对完整时，煤岩水力压裂所需的起裂压力符合“孔壁应力集中诱发拉伸破裂”准则。
2.4.2 天然裂缝对水力压裂煤扩展规律的影响
目前，对流体压裂过程中裂缝扩展压力的预测主要采用断裂力学中的应力强度因子和岩石的断裂韧度作为依据[23]。在断裂力学中，根据外力作用的方式，将裂纹的扩展形式分为张开型(Ⅰ型，图10a)、滑开型(Ⅱ型，图10b)和撕开型(Ⅲ型，图10c)[24]。
ZHOU等[25]认为裂缝较细宽度小的为张开型裂缝(Ⅰ型)，裂缝宽度较大的为滑开型裂缝(Ⅱ型)，I-II复合型裂缝则是2种裂缝都有产生。
在水力压裂过程中，水力裂缝通常垂直于最小主应力方向，假设煤在水力压裂过程中不受剪切应力和天然裂缝的影响，试样的裂缝的扩展类型为张开型(Ⅰ型)，宏观视角下，煤岩水力压裂裂缝的扩展准则为
$$ K_{{\mathrm{I}}}=K_{{\mathrm{I}}-\sigma}+K_{{\mathrm{I}}-{{P}}}=\left(P-\sigma_{z}\right) \sqrt{\pi {a}} $$ (6) KI-σ为Ⅰ型裂缝关于应力的强度因子，KI-P为Ⅰ型裂缝关于水压的强度因子。当KI>KIC时，裂缝扩展。其中，KI为Ⅰ型裂缝的强度因子；KIC为岩石的断裂韧度；a为裂缝半长；P为水压；σz为最小主应力。
而当煤岩内部含有多种矿物且随机分布天然裂缝时，会影响裂缝的扩展过程，天然裂缝的方向与主应力的方向可能存在夹角，主应力差可能在原生裂隙上产生剪应力，导致煤层中裂缝扩展形态可能是II型(滑开型)或I-II复合型，根据DENG等[15]可知，煤岩的扩展准则可用式（7）—式（9）表示
$$ \sigma_{\theta \theta}=\frac{1}{2 \sqrt{2 \pi r}} \cos \frac{\theta}{2}\left[K_{{\mathrm{I}}}(1+\cos\; \theta)-3 K_{\Pi} \sin\; \theta\right] $$ (7) $$ K_{\text {II }}=\tau \sqrt{{\text{π}} {r}} $$ (8) $$ \sigma_{{n}}=\frac{\sigma_{{x}}+\sigma_{{z}}}{2}-\cos\; 2 \beta \frac{\sigma_{{x}}+\sigma_{{z}}}{2} $$ (9) 式中：σθθ为裂缝的切向应力；r为裂缝半长；θ为裂缝扩展方向；β为裂缝与最大主应力之间的夹角；KI为Ⅰ型裂缝的强度因子；KII为Ⅱ型裂缝的强度因子；τ和σn分别表示裂缝所受的剪应力和正应力。
当裂缝的切向应力σθθ大于或等于岩石的断裂韧度KIC时，裂缝开始扩展。结合上文电镜扫描及纳米压痕测试结果可知，岩石材料中多种矿物与微裂隙的存在，导致岩体各处的力学性质如弹性模量和断裂韧度等存在差异(详见2.1节与2.2节)。断裂韧度KIC越大，表示裂纹越不容易扩展。根据纳米压痕试验结果可知，当$ {\mathrm{\sigma }}_{\mathrm{\theta }\mathrm{\theta }} $≥KIC,min时，裂缝较容易扩展；当σθθ≥KIC,max时，裂缝在任何条件下都扩展。
以试件A2-3为例，从图9(Y+面）中可以看出煤样压裂后产生了1条“单个横向裂缝”，裂缝宽度较小，方向垂直于最小主应力方向，表现为张开型裂缝(Ⅰ型)。除此之外，煤样在压裂后产生了多条次级水力裂缝，产生的次级水力裂缝宽度较大，并且伴随有颗粒的剥落，表现为滑开型裂缝(Ⅱ型)或者I-II复合型裂缝。从图9中还可以看出压裂后产生的次级水力裂缝沟通了天然裂缝，从而形成了复杂的裂缝网络。
考虑到3种裂缝中最危险的是张开型裂缝（Ⅰ型），且水力压裂过程中产生的裂缝多为张开型裂缝（Ⅰ型），因此在对扩展压力进行预测时，本文按I型裂缝的扩展公式进行计算。当裂缝按I型裂缝扩展时，根据式(6)可以计算出不同应力条件下的扩展压力值，如图11所示。从图11可以发现，试件A1、A2和A3的实测最小和最大扩展压力值均大于理论计算最小和最大压力值，其差值范围分别为2.043～6.845 MPa和3.951～8.576 MPa；但是当试件中含有天然裂缝且天然裂缝方向垂直于施加的最小主应力方向时，试验所得扩展应力均小于计算所得扩展应力。根据煤岩的水力压裂的扩展准则可知，引起这种现象产生的原因是：在真三向应力条件下，X方向存在应力差，当压裂液通过钻孔进入岩体内部时，将在弱面空间产生有效水压力，此压力用以抵消延展面上的法向应力，当天然裂缝平行于X方向且X方向存在应力差时，试件更容易产生破坏，所需要的扩展压力更小。
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图 11 裂缝理论计算扩展压力与实测扩展压力值对比Figure 11. Comparison of theoretical and measured propagation pressure of fractures当煤岩中的裂缝扩展形式为Ⅱ型或Ⅰ-Ⅱ复合型时，根据式（6）—式（9）可知，在给定断裂韧度、应力状态和裂缝扩展方向为0°条件下，可以计算得到裂缝扩展所需的压力，如图12所示。从图12可以发现，当岩石所处的应力状态和水力裂缝的扩展方向为0°时，给定断裂韧度较大时，岩石裂缝的扩展压力亦较大。同时可以得出，当断裂韧度、应力状态和裂缝扩展方向为0°等条件不变时，随着水力裂缝的延伸，水力裂缝的长度逐渐增加，裂缝扩展压力逐渐减小，表明液体沿天然裂缝扩展可以有效的减少裂缝扩展所需的压力。
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图 12 裂缝扩展压力随裂缝半长的变化曲线Figure 12. Curve of fracture propagation pressure versus half-length of fracture3. 结 论
1)当试件内部不含明显天然裂缝时，煤岩水力压裂所需的起裂压力符合“孔壁应力集中诱发拉伸破裂”准则；当试件内部含天然裂缝，且天然裂缝垂直于最小主应力时，所需的起裂压力较小，为3.355 MPa，仅大于水平应力差3.2 MPa；当试件内部含天然裂缝，且天然裂缝平行于最小主应力时，所需的起裂压力为7.902 MPa，大于最小主应力6.4 MPa。
2)当裂缝的扩展类型为I型时，不含明显天然裂缝煤岩的实测最小和最大扩展压力值都大于理论计算最小和最大扩展压力值，其差值范围分别为2.043～6.845 MPa和3.951～8.576 MPa；而当煤岩含明显天然裂缝且天然裂缝平行于X方向时，水平应力差的存在将引起含裂隙煤岩的实测扩展压值力小于理论计算扩展压力值。
3)当裂缝的扩展类型为Ⅱ或I-Ⅱ型裂缝时，随着水力裂缝长度的增加，裂缝扩展压力逐渐减小，表明天然裂缝的存在可以有效的减少裂缝扩展所需的压力。
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图 1 试验用煤样和井筒密封示意
Figure 1. Coal samples for testing and schematic of well-bore sealing
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图 2 多功能真三轴流固耦合试验系统
Figure 2. Multifunctional true triaxial fluid structure coupling experimental apparatus
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图 5 不同放大倍数下煤样的孔结构电镜扫描结果
Figure 5. SEM images showing pore structure of coal sample at different magnifications
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图 8 试件A2-1压裂前和压裂后宏观图片
Figure 8. Macroscopic images of specimen A2-1 before and after fracturing
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图 9 试件A2-3压裂前和压裂后宏观图片
Figure 9. Macroscopic images of specimen A2-3 before and after fracturing
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图 11 裂缝理论计算扩展压力与实测扩展压力值对比
Figure 11. Comparison of theoretical and measured propagation pressure of fractures
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图 12 裂缝扩展压力随裂缝半长的变化曲线
Figure 12. Curve of fracture propagation pressure versus half-length of fracture
表 1 真三向水力压裂试验参数
Table 1 True three-dimensional hydraulic fracturing test parameters
试件编号 σx/MPa σy/MPa σz/MPa 水平地应力
差异系数k压裂液 A1 7.2 9 4.8 0.5 清水 A2 9.6 12 6.4 0.5 A2-1 9.6 12 6.4 0.5 A2-2 9.6 12 6.4 0.5 A2-3 9.6 12 6.4 0.5 A3 12.0 15 8.0 0.5 注：水平地应力差异系数$k=\left(\sigma_x-\sigma_{\textit{z}}\right) / \sigma_{\textit{z}} $。 
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表 2 纳米压痕试验相关数据
Table 2 Nanoindentation test related data
压点编号 弹性模量Er/GPa 断裂韧度KIC/（MPa·m1/2) n1 7.04 0.97 n2 5.64 0.80 n3 4.96 0.73 n4 4.58 0.91 n5 4.04 0.61 n6 3.97 0.60 n7 8.53 1.19 n8 5.66 0.76 n9 6.23 0.89
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表 3 煤样水力压裂起裂压力值和拉伸破坏起裂准则的预测值
Table 3 Value of coal hydraulic fracturing initiation pressure and predicted value of tensile failure initiation criterion
试件编号 σx, σy, σz/MPa 抗拉强度
σt/MPa实测起裂
压力/MPa预测最大起
裂压力/MPa实测起裂压力与预测
最大起裂压力差值/MPa预测最小起
裂压力/MPa实测起裂压力与预测
最小起裂压力差值/MPaA1 7.2, 9, 4.8 σt,max =2.596
σt,min =1.5119.651 9.796 −0.145 8.711 0.940 A2 9.6, 12, 6.4 σt,max =2.596
σt,min =1.51115.845 12.196 3.649 11.111 4.734 A2-1 9.6, 12, 6.4 σt,max =2.596
σt,min =1.5113.355 12.196 −8.841 11.111 −7.756 A2-2 9.6, 12, 6.4 σt,max =2.596
σt,min =1.5113.904 12.196 −8.292 11.111 −7.207 A2-3 9.6, 12, 6.4 σt,max =2.596
σt,min =1.5117.902 12.196 −4.294 11.111 −3.209 A3 12, 15, 8 σt,max =2.596
σt,min =1.51114.430 14.596 −0.166 13.511 0.919
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