Mechanical properties and damage constitutive model of coal with different water content based on energy principle
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摘要:
为探究不同含水率下煤岩体在变形破坏过程中的能量演化规律与损伤演化特征，对双马一矿煤岩体开展了在不同含水率条件下单轴压缩试验，基于能量计算及最小耗能原理，分析不同含水率下煤岩体能量耗散特征及损伤演化机制，结果表明：不同含水率下煤岩体力学性质不同，峰值应变与含水率呈正相关，抗压强度、弹性模量与含水率呈负相关；煤岩体含水率越高，其在峰值处弹性应变能及破坏吸收总应变能越小，耗散能占总应变能比例越高；基于最小耗能原理建立的损伤本构模型表明：随着煤岩体含水率增加，损伤门槛值逐渐降低；干燥状态下，煤岩体在应力峰值处损伤变量分别为0.36、0.28，当含水率增至自然状态时，煤岩体在应力峰值处损伤变量值分别下降0.09、0.18，但当含水率增至饱水状态时，煤岩体在应力峰值处损伤变量值反而分别大幅度上升0.102、0.49，总体呈先减后增的发展趋势；进一步建立了不同含水率煤岩损伤应变能释放率演化模型，低含水率煤岩较干燥煤岩的最大损伤应变能释放率大幅度下降，降幅分别为45.61%、31.29%，而随着含水率增加至饱水状态，其最大损伤应变能释放率增大幅度较平缓，分别为3.08%、8.80%，表明煤岩破坏剧烈程度并未大幅度增加。研究成果对煤岩矿柱水害预测评价与岩石损伤评估具有一定参考意义。
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关键词:
- 能量演化 /
- 煤岩体 /
- 最小耗能法 /
- 损伤本构模型 /
- 最大损伤应变能释放率
Abstract:In order to explore the energy evolution law and damage evolution characteristics of coal and rock mass in the process of deformation and failure under different water content, the uniaxial compression test of coal and rock mass in Shuangma No.1 Coal Mine under different water content conditions was carried out. Based on the principle of energy calculation and minimum energy consumption, the energy dissipation characteristics and damage evolution mechanism of coal and rock mass under different water content were analyzed. The results show that the mechanical properties of coal and rock mass under different water content are different, and the peak strain are positive correlated with water content, compressive strength and elastic modulus are negatively correlated with water content. The higher the water content of the coal and rock mass, the smaller the elastic strain energy at the peak value and the total strain energy absorbed by the failure, and the higher the proportion of the dissipated energy to the total strain energy. The damage constitutive model based on the principle of minimum energy consumption shows that the damage threshold value gradually decreases with the increase of water content of coal and rock mass. In the dry state, the damage variables of coal and rock mass at the peak stress are 0.36 and 0.28, respectively.When the water content increases to the natural state, the damage variables of coal and rock mass at the peak stress decrease by 0.09 and 0.18, respectively.However, when the water content increases to the saturated state, the damage variables of coal and rock mass at the peak stress increase by 0.102 and 0.49, respectively, showing a trend of decreasing first and then increasing.The evolution model of damage strain energy release rate of coal rock with different water content is further established. The maximum damage strain energy release rate of low water content coal rock is significantly lower than that of dry coal rock, and the decrease is 45.61% and 31.29% respectively. With the increase of water content to saturated state, the maximum damage strain energy release rate changes gently, which is 3.08% and 8.80% respectively, indicating that the damage severity of coal rock does not increase significantly.
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0. 引 言
长时间存在于煤层巷道围岩结构中的地下水会与煤体基质发生复杂的物理化学反应，导致围岩内部结构的损伤、宏观力学性能的劣化、承载能力的下降，最终导致巷道变形和破坏程度进一步加剧[1]。在井下煤矿开采过程中，由于覆岩运移及结构的变化，造成含水层内水分流入煤层后引起煤岩含水率的增加，这势必会造成煤岩内部损伤及宏观力学性能发生改变。近年来，安徽两淮、山东和内蒙古等矿区发生的多起煤巷冒顶事故都可以追溯到煤岩体吸水导致强度减弱，这一问题对煤矿的安全生产产生了严重的影响[2]。因此，深入剖析在不同含水率下煤岩的能量损伤演化机制，对科学指导煤矿井下安全开采提供理论支持和科学依据[1-4]。
近年来，国内外学者逐渐开始关注水分对岩石变形破坏过程中能量损伤演化的作用，并对此课题开展了一系列针对性研究。李天斌等[5]为研究不同含水率作用下岩石的能量演化机制，进行了5种含水率状态下砂岩的常规三轴压缩试验，从能耗演化规律和声发射特征分析不同含水率作用下岩石的能量机制；姚强岭等[6]为研究不同含水率状态下含煤岩系在力学特性、变形破坏机理以及声发射特征方面的差异，进行了不同含水率状态下含煤岩系单轴压缩及变角剪切试验，并在试验过程中监测试样释放的声发射信号，建立了考虑含水饱和度的含煤系Mohr-Coulomb准则；党亚倩等[7]为研究不同含水率状态下砂岩的力学性质与能量损伤演化机制，进行了不同含水率砂岩单轴压缩试验，深入讨论了峰值处各能量指标与含水率的关系。上述学者主要着重于研究岩石破坏过程中弹性能、耗散能与总应变能之间的演化规律，对于岩石内部损伤与力学特性参数之间联系的研究较缺乏，不能很好地反应水分导致的岩石损伤劣化效应。
陈光波等[8]为研究煤岩组合体力学特性随浸水时间的演化规律和声发射损伤特征，进行了不同浸水时间煤岩组合体单轴压缩试验，基于声发射累计数原理，建立了不同浸水时间条件下煤岩组合体损伤模型；耿殿栋等[9]为研究层理岩在水劣化作用下的力学性能及损伤演化规律，进行了层理页岩三轴压缩试验，基于Lemaitre应变等价性理论，改进了不同含水率状态和不同层理角度下层理页岩的损伤本构模型；邓华锋等[10]为研究水岩作用下砂岩劣化损伤统计模型，进行了不同含水率条件下砂岩三轴压缩试验，重点考虑了压密阶段的影响，分段建立了统计损伤本构模型；王凯等[11]为研究水分对煤体力学特性的影响，进行了不同含水率状态下煤体单轴压缩试验，基于J.Lemaitre等效应变假说原理，建立了不同含水率煤体分段式概率分布损伤本构模型，且拟合度较高；李波波等[12]为研究水分对煤岩力学特性与损伤的影响机制，进行了不同含水率下原煤的三轴压缩试验，基于弹性损伤力学，建立了不同含水率下煤岩分段式损伤本构模型；邓华锋等[13]为了研究水分对砂岩的力学特性及微观结构损伤演化机制，进行了不同浸泡−风干循环次数的单轴压缩试验，并进行了SEM电镜扫描，结合PFC2D离散元软件对劣化过程进行了模拟分析。
上述研究成果对不同含水率岩石破坏能量特征从多方面进行了研究，并且构建了适用于不同含水率下岩石变形破坏的损伤本构模型，但是现有的基于能量原理构建的损伤本构模型中较少考虑损伤阈值的影响，同时关于不同含水率煤岩的损伤应变能释放率的演化规律鲜有报道。因此笔者基于能量原理分析了不同含水率煤岩能量演化机制，基于最小耗能原理建立了不同含水率下煤岩损伤本构模型，在此基础上量化分析了煤岩含水率与损伤应变能释放率演化规律。
1. 不同含水率煤岩的力学性质
为研究不同含水率煤岩破坏过程中能量损伤变化规律，选取国家能源集团宁夏煤业有限责任公司双马一矿4−1煤层及其顶板砂岩，分别将煤体（C）、砂岩（R）样加工成70 mm×50 mm×100 mm的长方体煤样和50 mm×50 mm×100 mm的圆柱形岩样，然后通过烘干和浸泡的方式制成干燥状态、自然状态、饱水状态煤岩试件各一组，每组中不同含水率试件制备3个，共18个煤岩试件，试件含水状态见表1、表2。然后采用MTS815全数字液压伺服试验系统对煤岩试件进行单轴压缩试验，试验过程如图1所示。加载过程采用位移控制方式，加载速率为1×10−2 mm/s，数据采样间隔为1 s。
表 1 煤体各状态含水率Table 1. Moisture content of coal in each state试样编号 含水率/% 试样编号 含水率/% 试样编号 含水率/% C1-1 0 C2-1 3.22 C3-1 5.43 C1-2 0 C2-2 3.27 C3-2 5.47 C1-3 0 C2-3 3.25 C3-3 5.52 表 2 砂岩各状态含水率Table 2. Water content of sandstone in each state试样编号 含水率/% 试样编号 含水率/% 试样编号 含水率/% R1-1 0 R2-1 2.38 R3-1 3.72 R1-2 0 R2-2 2.37 R3-2 3.74 R1-3 0 R2-3 2.41 R3-3 3.79 由于相近含水状态煤岩的峰前应力−应变曲线具有较好的相似性[11]，因此本文每组只选取其中一条曲线作为研究对象。图2为不同含水率状态下的煤岩试样单轴压缩试验所得应力−应变曲线。在干燥状态下，煤岩压密阶段占比较低，峰前线弹性阶段占比较高，峰后应力迅速跌落，这是由于煤岩内部没有水分的润滑作用，煤岩的微小裂隙很难相互滑动，使得煤岩脆性较强。随着含水率的增加，煤岩压密阶段占比增加，线弹性阶段占比减小，屈服阶段更加显著，应力−应变曲线在峰后加载中呈现上凸状，并且保存有较大的残余强度。这是由于煤岩孔隙中含有不同程度的水分填充，水分的润滑作用使得煤岩内部的微观裂隙和孔隙会相对容易扩展和连接，使得煤岩脆性降低，塑性增强[14]。由此可见，含水率对煤岩的力学性质、损伤特征具有显著的影响[15]。
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图 2 不同含水率煤岩应力−应变曲线Figure 2. Stress-strain curves of coal rock with different water contents为了更好的反应水对煤岩样的软化效果，根据不同含水率煤岩应力−应变曲线，可得不同含水率煤岩的峰值应变、抗压强度和弹性模量3种力学参数，将3种力学参数值进行拟合。图3—图5为煤岩试样的3种力学参数与含水率的拟合关系曲线。
由图3—图5可知：煤岩样的峰值应变、抗压强度、弹性模量均与含水率呈负相关。干燥状态下，煤岩样的峰值应变分别为
0.0349 、0.0253 ；自然煤岩样较干燥煤岩样峰值应变分别下降0.00567 、0.00320 ；饱水煤岩样较自然煤岩样峰值应变分别下降0.00430 、0.00111 ；自然煤岩样较干燥煤岩样抗压强度分别下降9.239、16.1 MPa；饱水煤岩样较自然煤岩样抗压强度分别下降4.066、6.36 MPa；干燥状态下，煤岩样的弹性模量分别为1217 、3069 MPa；自然煤岩样较干燥煤岩样弹性模量分别下降167、556 MPa；饱水煤岩样较自然煤岩样弹性模量分别下降15、334 MPa；由此说明，随着含水率增大，砂岩抗压强度与弹性模量的劣化程度高于煤体，而煤体峰值应变的劣化程度高于砂岩。总体来说，煤岩的峰值应变、抗压强度、弹性模量均呈先陡后缓的劣化趋势。除砂岩的峰值应变线性规律较差，其余力学参数与含水率线性拟合度较高。煤岩峰值应变、抗压强度、弹性模量与含水率拟合函数表达式如下：$$ \left( \begin{gathered} {\varepsilon _{{\mathrm{Cp}}}} = a - bw \\ {\sigma _{\mathrm{C}}}_{\max } = c - dw \\ {\sigma _{\mathrm{R}}}_{\max } = c' - {d'}w \\ {E_{{\mathrm{C0}}}} = f + h\exp ( - w/g) \\ {E_{{\mathrm{R0}}}} = {f'} - {g'}w \\ \end{gathered} \right. $$ (1) 式中：a、b、c、d、c’、d’、f、g、f’、g’、h分别为拟合参数；$ {\varepsilon _{\mathrm{Cp}}} $为煤样峰值应变；$ {\sigma _{\mathrm{C}}}_{\max } $、$ {\sigma _{\mathrm{R}}}_{\max } $分别为煤样、岩样抗压强度；$ {E_{{\mathrm{C0}}}} $、$ {E_{{\mathrm{R0}}}} $分别为煤样、岩样弹性模量；$ w $为含水率。
2. 煤岩变形破坏过程的能量演化规律
2.1 能量计算原理
从能量角度分析，煤岩在外荷载作用下的变形破坏是一个能量输入、积聚及耗散的动态演化过程，在裂纹萌生、扩展甚至裂隙宏观扩展过程中均伴随着能量耗散[16-18]。能量全过程演化如图6所示。因此，研究不同含水率煤岩在变形破坏过程中的能量演化规律对揭示含水率对煤岩损伤破坏的影响机制具有重要的意义。
根据热力学定律，外力做功产生的能量$ U_{0} $为
$$ U_0=U_{\mathrm{d}}+U_{\mathrm{e}} $$ (2) 式中：$ {U_0} $为总能量；$ U_{\mathrm{e}} $为弹性势能；$ U_{{\mathrm{d}}} $为耗散能。
假设试验过程中系统与外界没有热交换，外力做功产生的能量$ U_{0} $即为岩样实际吸收的能量。单轴压缩条件下[19]：
$$ \sigma_{2}=\sigma_{3}=0 $$ (3) $$ {U_0} = \int\nolimits_0^{{\varepsilon _1}} {{\sigma _1}{\mathrm{d}}{\varepsilon _1} + } \int\nolimits_0^{{\varepsilon _2}} {{\sigma _2}{\mathrm{d}}{\varepsilon _2} + } \int\nolimits_0^{{\varepsilon _3}} {{\sigma _3}{\mathrm{d}}{\varepsilon _3} = } \int\nolimits_0^{{\varepsilon _1}} {{\sigma _1}{\mathrm{d}}{\varepsilon _1}} $$ (4) $$ U_{{\mathrm{e}}}=\frac{1}{2} \sigma_{1} \varepsilon_{1}=\frac{\sigma_{1}^{2}}{2 E_{{\mathrm{u}}}} \approx \frac{\sigma_{1}^{2}}{2 E_{0}} $$ (5) $$ {U_{\mathrm{d}}} = {U_0} - {U_{\mathrm{e}}} = \int_0^{{\varepsilon _1}} {{\sigma _1}} {\mathrm{d}}{\varepsilon _1} - \frac{{{\sigma _1^2}}}{{2{E_0}}} $$ (6) 式中：$ \sigma_{1} $、$ \sigma_{2} $、$ \sigma_{3} $为煤岩的最大主应力、中间主应力和最小主应力；$ \varepsilon_{1} $、$ \varepsilon_{2} $、$ \varepsilon_{3} $为沿着主应力上的主应变；Eu为煤岩卸载弹性模量；E0为煤岩的弹性模量。本文采用煤岩弹性阶段的E0替代卸载弹性模量Eu，下文讨论了该替代的合理性。
2.2 不同含水率煤岩能量演化规律
基于上述能量计算原理，得到如图7所示的不同含水率煤岩在加载变形破坏过程中的能量演化与应力−应变关系，根据煤岩应力−应变关系，将煤岩加载变形破坏过程分为4个阶段。
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图 7 不同含水率煤岩能量演化规律Figure 7. Energy evolution pattern of coal rock with different water content rate1）初始非线性阶段（OA）。不同含水率煤岩加载初期时应力−应变曲线差异不明显，呈下凹状，总能量密度、弹性应变能密度、耗散能密度都增加缓慢，这是由于内部存在原生孔隙，外载荷做功主要转化为使煤岩原生孔隙闭合。
2）线弹性阶段（AB）。煤岩经压密后接近连续介质，线弹性特征十分明显，煤岩总能量密度与弹性应变能密度快速增加。表明煤岩试样从外界吸收的能量主要以弹性应变能的形式储存在煤岩中。由图7可知，干燥、自然与饱水状态下煤体在AB段弹性应变能增长速率分别为
0.1815 、0.1254 、0.1148 MJ/（m3·s）；干燥状态下、自然状态下与饱水状态下砂岩在AB段弹性应变能增长速率分别为0.2286 、0.1291 、0.1244 MJ/（m3·s）。因此，在线弹性阶段，随着含水率增大，煤岩储存弹性应变能的能力在逐渐降低。3）裂隙发展阶段（BC）。煤岩应力−应变曲线呈非线性发展，试样发生不可逆的塑性变形。其内部裂纹、微裂隙拓展所吸收的能量主要转化为耗散能，耗散能所占比例增加，弹性应变能占比降低，且弹性应变能在应力峰值处达到最大值。表3、表4为不同含水率煤岩峰值处能量特征值，由表可知：随着含水率增大，矿岩在应力峰值处耗散能占总应变能的比例分别为21.55%、27.33%、34.10%，煤体在应力峰值处耗散能占总应变能的比例分别为25.37%、30.60%、37.21%。由此可知，在干燥状态下，煤体与砂岩在应力峰值处的耗散能占比差距较小，而在低含水与高含水状态下，砂岩在应力峰值处的耗散能占比均显著低于煤体。总体来说，随着含水率增大，煤岩在应力峰值处耗散能占比在不断增大。这表明随着含水率增大，煤岩在塑性发展阶段中损伤程度在逐渐上升。因此在实际开挖施工中，特别是在处理煤岩较干燥的情况下，可能发生岩块弹射、崩塌，甚至岩爆等地质灾害，为了降低岩爆的风险，可以考虑采用向煤岩注水的方法。
表 3 不同含水率砂岩峰值处能量特征值Table 3. Rends of energy changes at peak of sandstones with different water contents试样编号 含水率/% 峰值处弹性应变能Ue/（MJ·m−3） 峰值处耗散能Ud/（MJ·m−3） 破坏时总应变能U0/（MJ·m−3） R1-1 0 0.3456 0.0949 0.4405 R2-2 2.37 0.1601 0.0602 0.2203 R3-3 3.79 0.0941 0.0487 0.1428 表 4 不同含水率煤体峰值处能量特征值Table 4. Trends of energy changes at peak of coal bodies with different water contents试样编号 含水率/% 峰值处弹性应变能Ue/（MJ·m−3） 峰值处耗散能Ud/（MJ·m−3） 破坏时总应变能U0/（MJ·m−3） C1-1 0 0.3541 0.1204 0.4964 C2-3 3.25 0.2001 0.0882 0.2882 C3-2 5.47 0.1402 0.0831 0.2233 4）峰后破坏阶段（CD）。煤岩微裂纹在C点处微裂隙扩展贯通为宏观裂隙，应力快速跌落。储存的弹性应变能快速释放，耗散能密度陡增，宏观裂纹沿着破裂面滑移产生剪切变形[20]，干燥状态下、自然状态下与饱水状态下砂岩破坏全过程所吸收的总应变能分别为
0.4330 、0.2846 、0.2055 MJ/m3；干燥状态下、自然状态下与饱水状态下煤体破坏全过程所吸收的总应变能分别为0.4964 、0.3429 、0.3068 MJ/m3。由此可见，煤岩含水率越高，在破坏过程中吸收的总应变能越低。3. 基于耗能原理煤岩损伤演化模型
3.1 不同含水率煤岩损伤演化本构模型
煤岩的破坏过程实质是能量的转换过程，因此其过程也应受到最小耗能的约束。最小耗能原理指出：任何耗能过程，都将在与其相应的约束条件下以最小耗能的方式进行。其中，“与其相应的约束条件”是指在该耗能过程的耗能率表达式中包含的物理量所应满足的控制方程及定解条件；“以最小耗能的方式进行”是指在耗能过程中的任意时刻，其耗能率都取所有耗能率的最小值[21-22]。研究流程图如图8所示。
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图 8 不同含水率下煤岩体损伤演化研究流程Figure 8. Flowchart for study coal rock damage evolution under different water contents根据材料力学可知，煤岩在发生破坏耗能之前，其本构关系为
$$\left\{\begin{array}{l} \varepsilon_1=\dfrac{1}{E}\left[\sigma_1-\mu\left(\sigma_2+\sigma_3\right)\right] \\ \varepsilon_2=\dfrac{1}{E}\left[\sigma_2-\mu\left(\sigma_1+\sigma_3\right)\right] \\ \varepsilon_3=\dfrac{1}{E}\left[\sigma_3-\mu\left(\sigma_1+\sigma_2\right)\right] \end{array}\right.$$ (7) 式中：E、μ分别为煤岩的名义弹性模量、泊松比。
基于应变等效原理，对于因各向同性损伤而引起的破坏而言，在该点发生破坏耗能过程中的任一时刻t的应变，可根据应变等效原理由式（7）表示为：
$$ \left\{\begin{array}{l} \varepsilon_1=\dfrac{1}{[1-D(t)] E}\left[\sigma_1-\mu\left(\sigma_2+\sigma_3\right)\right] \\ \varepsilon_2=\dfrac{1}{[1-D(t)] E}\left[\sigma_2-\mu\left(\sigma_1+\sigma_3\right)\right] \\ \varepsilon_3=\dfrac{1}{[1-D(t)] E}\left[\sigma_3-\mu\left(\sigma_1+\sigma_2\right)\right] \end{array}\right.$$ (8) 该点在因应力$ \sigma_{{i}} $所导致的破坏过程中，由损伤变量$ D (t) $引起的耗能率可以表示为
$$\varphi(t)=\sigma_i \dot{\varepsilon}_i^N(t) $$ (9) 式中，$ \varepsilon_{{i}}^N({t})$为由$ D (t) $引起的不可逆应变率；$ t $为损伤破坏过程的时间参数。
由式（8）—（9）可得
$$ \left\{\begin{array}{l} \varepsilon_1=\dfrac{-\dot{D}(t)}{[1-D(t)] E}\left[\sigma_1-\mu\left(\sigma_2+\sigma_3\right)\right] \\ \varepsilon_2=\dfrac{-\dot{D}(t)}{[1-D(t)] E}\left[\sigma_2-\mu\left(\sigma_1+\sigma_3\right)\right] \\ \varepsilon_3=\dfrac{-\dot{D}(t)}{[1-D(t)] E}\left[\sigma_3-\mu\left(\sigma_1+\sigma_2\right)\right] \end{array}\right.$$ (10) 将式（10）代入式（9）可得
$$ {\varphi(t)=-\dfrac{\dot{D}(t)}{[1-D(t)]^2 E}\left[\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-2 \mu\left(\sigma_1 \sigma_2+\sigma_2 \sigma_3+\sigma_3 \sigma_1\right)\right]} $$ (11) 对于煤岩单轴压缩条件下可得：
$$\sigma_1=\sigma $$ (12) $$\sigma_2=\sigma_3=0 $$ (13) 结合式（11）—（13），煤岩耗能率为
$$\varphi(t)=-\frac{\dot{D}(t)}{[1-D(t)]^2 E} \sigma^2$$ (14) 煤岩在耗能过程中的约束条件可以表示为
$$F(\sigma)=\sigma-R_{\mathrm{c}}=0$$ (15) 式中：$R_{\mathrm{c}} $为煤岩的单轴抗压强度。
根据最小耗能原理可知，式（14）应满足在式（15）的条件下取驻值的限制，引入拉格朗日乘子$ \lambda $可得
$$ \frac{\partial[\varphi(t)+\lambda F]}{\partial \sigma}=0 $$ (16) 根据连续损伤力学可知
$$\sigma=E(1-D) \varepsilon $$ (17) 由式（14）—式（17）整理可得：
$$D(t)=1-{\mathrm{e}}^{\left(\tfrac{\lambda}{2 \varepsilon}+c\right)} $$ (18) 由图6可知有如下几何关系：
$$ \left\{\begin{array}{l} \varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{P}}, \sigma=\sigma_{\max } \\ \varepsilon=\varepsilon_{\mathrm{P}}, \dfrac{{\mathrm{d}} \sigma}{{\mathrm{d}} \varepsilon}=0 \end{array}\right. $$ (19) 式中：$\varepsilon_{\mathrm{p}} $为峰值应变值；$ \sigma_{\max }$为峰值应力值。
计算可得：
$$ \lambda=2 \varepsilon_{\mathrm{p}} $$ (20) $$ c=\ln \sigma_{\max }-\ln E {\mathrm{e}} \varepsilon_{\mathrm{p}}$$ (21) 将式（20）与式（21）代入式（18），可得到煤岩损伤演化本构模型[23]：
$$D(t)=1-{\mathrm{e}}^{\left(\tfrac{\varepsilon_{\mathrm{p}}}{\varepsilon}+\ln \sigma_{\max }-\ln E {\mathrm{e}} \varepsilon_{\mathrm{p}}\right)} $$ (22) 将式（1）代入式（22），即可得到不同含水率煤岩损伤演化本构模型：
$$\left\{ \begin{split} & D_{\rm{c}}(t)=1-\exp \Bigg\{\frac{a-bw}{\varepsilon }+\ln (c+dw)- \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ln [[f+h\exp (-w/g)]{\rm{e}}\exp (a-bw)]\Bigg\} \\ & D_{\rm{R}}(t)=1-\exp \Bigg\{\frac{{{\varepsilon }_{{\rm{Rp}}}}}{\varepsilon }+\ln (c'+d'w)- \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ln [(f'-g'w){\rm{e}}{{\varepsilon }_{{\rm{Rp}}}}]\Bigg\} \\ \end{split} \right.$$ (23) 式中：$ {D_{\mathrm{c}}}(t) $为煤体损伤变量；$ {D_{\mathrm{R}}}(t) $为砂岩损伤变量。
3.2 确定损伤门槛值及阈值
当煤岩未发生损伤时
$$D(t)=1-\exp \left(\frac{\lambda}{2 \varepsilon}+{{c}}\right)=0$$ (24) 即煤岩损伤门槛值为
$$\varepsilon_0=-\frac{\lambda}{2 {{c}}}=\frac{\varepsilon_{\mathrm{p}}}{\ln \left(E_0 {\mathrm{e}} \varepsilon_{\mathrm{p}}\right)-\ln \sigma_{\max }}$$ (25) 显然存在
$$ \varepsilon_0 <\varepsilon_{\mathrm{p}} $$ (26) 可见，当煤岩未达到破坏阶段，煤岩就已经存在损伤，在应力–应变关系曲线上表现为弹性和塑性的临界点，即表示损伤门槛值为煤岩弹、塑性损伤的分界点[24]。
当$ \varepsilon \to \infty $时，结合式（22）与式（1）即可得到不同含水率煤岩损伤阈值：
$$D(t)=1-\exp \left[\ln \left(\sigma_{\max }\right)-\ln \left(E_0 {\mathrm{e}} \varepsilon_{\mathrm{p}}\right)\right] $$ (27) 3.3 不同含水率煤岩损伤演化曲线
根据实验得到的拟合参数a=
0.03431 、b=0.00121 、c=32.261、d=2.417、c'=44.196、d'=6.18、f=1031.85 、g=1.404、h=186.044、f'=3069.757 、g'=234.838代入式（23），利用MATLAB进行绘制曲线，得到不同含水率煤岩损伤演化曲线如图9所示。![]()
图 9 不同含水率煤岩损伤演化曲线Figure 9. Damage evolution curves of coal rock with different water contents由图9可知，不同含水率状态下煤岩在初始非线性阶段和线弹性阶段D=0，即不产生损伤，这是由于耗散能密度较低且产生的轴向应变ε较小，并且低于损伤门槛值ε0。当煤岩变形进入到裂隙发展阶段，煤岩试样轴向应变ε高于损伤门槛值后损伤开始发展，且损伤变量与轴向应变呈非线性关系[25]。干燥状态下煤岩的损伤门槛值分别为
0.03162 、0.0232 ，自然状态下煤岩样相较于干燥状态下煤岩样，损伤门槛值分别下降了18.46%、13.01%；饱水状态下煤岩样相较于自然状态下煤岩样，损伤门槛值分别下降了0.54%、3.36%。在应力峰值处，干燥状态下煤岩样损伤变量分别为0.36、0.28，自然状态下煤岩样相较于干燥煤岩样，损伤变量分别下降了0.09、0.18，饱水状态下煤岩样相较于自然状态下煤岩样，损伤变量分别增加了0.102、0.490。当煤岩完全破坏时，干燥状态下煤岩损伤阈值分别为0.7703 、0.8321 ；自然状态下煤岩损伤阈值分别为0.7083 、0.7326 ；饱水状态下煤岩损伤阈值分别为0.7834 、0.8363 。对于煤岩，其破坏后仍然具有一定的承载能力，即存在残余强度，其有效承载面积应大于0，因此煤岩的损伤阈值$ D < 1 $[23-25]。为了更加直观反映水对煤岩损伤的影响，现将不同含水率状态下煤岩损伤门槛值、应力峰值处损伤变量进行拟合，如图10所示。
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图 10 不同含水率煤岩损伤门槛值、峰值处损伤变量变化趋势Figure 10. Trend of damage threshold and critical value of coal rock with different water content rate由图10可知，随着煤岩含水率增加，煤岩的损伤门槛值逐渐降低，且线性拟合度较高，煤岩损伤门槛值越小，说明煤岩进入塑性发展阶段越早，造成该现象的原因一方面是由于水与煤岩体基质发生复杂的物理化学反应，引发煤岩内部结构损伤、宏观力学性能劣化导致；另一方面由于水分改变了其内部受力状态，从而增强了微裂隙发展。而煤岩体在应力峰值处损伤变量与含水率的关系呈现出非线性规律，在低含水率情况下，随着含水率的增大煤岩体在应力峰值处损伤变量随之大幅度降低，造成这种现象的原因是由于孔隙水的不可压缩性，孔隙水与水膜稳定链接提供一定的刚度，在一定程度上阻碍了孔隙的二次扩展，即一定量的水对岩样的损伤演化起缓解作用，而当煤岩样含水率进一步增大，当含水率较高且超过某一阈值时，随着含水率增加在应力峰值处损伤变量反而增加，这是由于水膜和孔隙水的耦合效应逐渐显现，加快了煤岩体裂隙扩展和破坏，破坏的烈度较小[26]。
考虑煤岩的压密阶段，根据王凯[11]的研究结果，联合式（23）与式（17），即可得到分段式煤岩损伤本构模型。
$$\sigma = \left\{ \begin{gathered} {\sigma _{\mathrm{A}}}{\left( {\frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _{\mathrm{A}}}}}} \right)^2}{\text{ }}，0 < \varepsilon \leqslant {\varepsilon _{\mathrm{A}}} \\ {E_0}(\varepsilon - {\varepsilon _{\mathrm{A}}}){\text{ }}，{\varepsilon _{\mathrm{A}}} < \varepsilon < {\varepsilon _0} \\ {E_0}\varepsilon \exp \left(\frac{{{\varepsilon _{\mathrm{p}}}}}{\varepsilon } + \ln {\sigma _{\max }} - \ln {E_0}{\mathrm{e}}{\varepsilon _{\mathrm{p}}}\right){\text{ }}，{\varepsilon _0} \leqslant \varepsilon \\ \end{gathered} \right. $$ (28) 式中：$ {\varepsilon _{\mathrm{A}}} $，$ {\sigma _{\mathrm{A}}} $分别为煤岩压密阶段最大应变与最大应力；$ {\varepsilon _0} $为煤岩损伤门槛值。
利用上文所得到的煤岩抗压强度、峰值应变、弹性模量与含水率的拟合关系式（1）代入上式，即可得到不同含水率煤岩分段式损伤本构模型。
煤体分段式损伤本构模型为：
$$ \sigma =\left\{ \begin{gathered} {\sigma _{{\mathrm{CA}}}}{\left( {\frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _{{\mathrm{CA}}}}}}} \right)^2}{\text{ }}，0 < \varepsilon \leqslant {\varepsilon _{{\mathrm{CA}}}} \\ [{{f}} + {\mathrm{h}}\exp ( - {{w}}/{{g}})](\varepsilon - {\varepsilon _{{\mathrm{CA}}}}){\text{ }}，{\varepsilon _{{\mathrm{CA}}}} < \varepsilon < {\varepsilon _0} \\ [{{f}} + {\mathrm{h}}\exp ( - w/{{g}})]\varepsilon \exp \{ \frac{{{{a}} - {{b}}w}}{\varepsilon } + \ln ({{c}} - {{d}}w) - \\ \ln \{ [{{f}} + {\mathrm{h}}\exp ( - w/{{g}})]{\mathrm{e}}({{a}} - {{b}}w)\} \} {\text{ }}，{\varepsilon _0} \leqslant \varepsilon \\ \end{gathered} \right. $$ (29) 砂岩分段式损伤本构模型为：
$$\sigma = \left\{ \begin{gathered} {\sigma _{{\mathrm{RA}}}}{\left( {\frac{\varepsilon }{{{\varepsilon _{{\mathrm{RA}}}}}}} \right)^2}{\text{ }}，0 < \varepsilon \leqslant {\varepsilon _{{\mathrm{RA}}}} \\ ({{{f}}'} - {{{g}}'}w)(\varepsilon - {\varepsilon _{{\mathrm{RA}}}}){\text{ }}，{\varepsilon _{{\mathrm{RA}}}} < \varepsilon < {\varepsilon _0} \\ ({{{f}}'} - {{{g}}'}w)\varepsilon \exp [\frac{{{\varepsilon _{{\mathrm{Rp}}}}}}{\varepsilon } + \ln ({{{c}}'} - {{{d}}'}w)- \\ \ln ({{{f}}'} - {{{g}}'}w){\mathrm{e}}{\varepsilon _{{\mathrm{Rp}}}}]{\text{ }}，{\varepsilon _0} \leqslant \varepsilon \\ \end{gathered} \right. $$ (30) 3.4 本构关系验证
根据图3—图5拟合结果与图10可知，拟合参数分别为a=
0.03431 、b=0.00121 、c=32.261、d=2.417、c'=44.196、d'=6.18、f=1031.85 、g=1.404、h=186.044、f'=3069.757 、g'=234.838。随着含水率增大，煤体损伤门槛值分别为0.03144 、0.02578 、0.02564 ；砂岩损伤门槛值分别为0.0235 、0.02018 、0.0195 。不同含水率下煤岩的压密阶段最大应力σA和最大应变εA由试验数据获得。将上述参数分别代入式（29）与式（30），即可得到不同含水状态下煤岩的分段式损伤本构模型。图11—图12为理论模型下的不同含水率煤岩应力−应变及试验结果的对比图。由图对比可知，6条理论曲线与试验曲线结果具有较好的一致性，尤其对于裂隙发展阶段。在峰值后，应力−应变曲线存在明显的下降平台，本文理论模拟值与试验值吻合度较高。![]()
图 11 不同含水率煤体单轴压缩试验曲线与理论模拟值Figure 11. Uniaxial compression test curves and theoretical simulation values of coal bodies with different water contents![]()
图 12 不同含水率岩样单轴压缩试验曲线与理论模拟值Figure 12. Uniaxial compression test curves and theoretical simulation values for rock samples with different water contents3.5 煤岩最大损伤应变能释放率
根据基于耗能原理煤岩损伤演化模型可知：煤岩损伤门槛值是在弹塑性分界点，煤岩在进入塑性发展阶段后，在外部荷载条件下，能量的耗散与释放最终导致了煤岩的变形破坏，且能量的耗散反映了其内部孔裂隙不断发展并最终丧失承载能力的过程，是造成煤岩内部结构产生不可逆塑性变形和损伤的主要原因。因此，研究不同含水率煤岩的变形破坏过程中能量演化特征，关键是找出表征材料对内部微结构变化抵抗力的煤岩损伤应变能释放率的演化规律，其值越大表明煤岩内部损伤演化越剧烈[27]。
根据热力学定律，可得
$$ {\sigma _{ij}} = \rho \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {\varepsilon _{ij}}}} $$ (31) 式中：$ {\sigma _{ij}} $、$ {\varepsilon _{ij}} $分别为应力、应变；$ \rho $为材料的密度。
由于试样为各向同性材料，因此自由能函数为
$$ \varphi = \frac{1}{\rho }\left[ {\frac{1}{2}{\boldsymbol a_{ijcd}}{\varepsilon _{cd}}(1 - D)} \right] $$ (32) 式中：$ {\boldsymbol a_{ijcd}} $为四阶弹性刚度张量。
因此可得
$$ {\sigma _{ij}} = \frac{1}{2}{\boldsymbol a_{ijcd}}{\varepsilon _{cd}}(1 - D) $$ (33) $$ {\varepsilon _{ij}} = \frac{{1 + D}}{{{E_0}}}\frac{{{\sigma _{ij}}}}{{1 - D}} - \frac{\mu }{{{E_0}}}\frac{{{\sigma _{cc}}}}{{1 - D}}{\delta _{ij}} $$ (34) 式中：$ \mu $为泊松比；$ {\delta _{ij}} $为克罗内克符号。
对于单轴压缩试验，由损伤引起的能量耗散释放率为
$$ Y= - \rho \frac{{\partial \varphi }}{{\partial {\varepsilon _{ij}}}} $$ (35) 由上式可知：
$$\begin{gathered} Y_C=\dfrac{\sigma^2}{2\left[1-D_C(t)\right]^2 E_0}=\dfrac{\sigma^2}{2\left[\exp \left(\dfrac{\varepsilon_p}{\varepsilon}+\ln \sigma_{\max }-\ln E_0 e \varepsilon_p\right)\right]^2 E_0} \\ =\dfrac{\sigma^2}{2\left\{\exp \left\{\dfrac{a-b w}{\varepsilon}+\ln (c-d w)-\ln \{[f \exp (-w / g)+h] e(a-b w)\}\right\}\right\}^2[f \exp (-w / g)+h]} \end{gathered} $$ (36) $$ Y_R=\dfrac{\sigma^2}{2\left[1-D_R(t)\right]^2 E_0}=\dfrac{\sigma^2}{2\left[\exp \left(\dfrac{\varepsilon_p}{\varepsilon}+\ln \sigma_{\max }-\ln E_0 e \varepsilon_p\right)\right]^2 E_0} =\dfrac{\sigma^2}{2\left\{\exp \left\{\dfrac{\varepsilon_0}{\varepsilon}+\ln \left(c^{\prime}-d^{\prime} w\right)-\ln \left[\left(f^{\prime}-g^{\prime} w\right) e \varepsilon_p\right]\right\}\right\}^2\left(f^{\prime}-g^{\prime} w\right)} $$ (37) 式中：$ {Y _{\mathrm{c}}} $煤体损伤应变能释放率；$ {Y _{\mathrm{R}}} $为砂岩损伤应变能释放率。
为得到不同含水率煤岩损伤应变能释放率变化趋势，将拟合参数代入式（36）与式（37），利用MATLAB数学分析软件进行绘制，如图13所示。
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图 13 不同含水率煤岩损伤应变能释放率变化趋势Figure 13. Trend of damage strain energy release rate of coal rock with different water contents图13为不同含水率煤岩损伤应变能释放率变化趋势，由图可知，当煤岩在煤岩损伤应变能释放率在应力峰值点后$ {\varepsilon _{\mathrm{m}}} $高于应力峰值点$ {\varepsilon _{\mathrm{p}}} $，因此煤岩在$ {\varepsilon _{\mathrm{m}}} $处为最大损伤应变能释放率$ {Y_{\max }} $。自然岩样相较于干燥岩样，其最大损伤应变能释放率$ {Y_{{\mathrm{R}}\max }} $下降31.29%，饱水岩样相较自然岩样下降3.08%；自然煤样相较于干燥煤样，其最大损伤应变能释放率$ {Y_{{\mathrm{C}}\max }} $下降45.61%，饱水煤样相较于自然煤样增加8.80%。为了更加直观反应煤岩最大损伤应变能释放率与含水率的关系，现将不同含水状态下煤岩最大损伤应变能释放率进行拟合，如图14所示。
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图 14 不同含水率煤岩最大损伤应变能释放率变化趋势Figure 14. Trend of maximum damage strain energy release rate of coal rock with different water contents由图14可知，在低含水状态下煤岩的最大损伤应变能释放率跌落显著，但当煤岩达到饱水状态时，其最大损伤应变能释放率变化幅度较平缓。
根据式（36）与式（37），对富水煤岩最大损伤应变能释放率影响最为强烈的指标分别为抗压强度、损伤变量，且均与损伤应变能释放率成正相关。在低含水状态下，煤岩的力学特性劣化度最显著，使得煤岩抗压强度、峰值处损伤变量均大幅度下降，从而造成低含水状态下煤岩最大损伤应变能释放率大幅度下降。而饱水状态下煤岩样微裂隙中充满自由水，自由水会随着裂纹尖端的充分贯通而充分流动，充分浸润新生裂隙，微裂隙尖端充分发育，最终加剧了损伤发展，使得饱水煤岩较自然煤岩在峰后εm处损伤变量大幅度增加，但其抗压强度下降幅度较低，促使饱水煤岩最大损伤应变能释放率变化幅度较平缓。
综上所述，低含水率煤岩较干燥煤岩，在应力峰值处损伤变量与最大损伤应变能释放率变化规律一致，均呈大幅度下降。高含水率煤岩较低含水率煤岩，在应力峰值处损伤变量呈大幅度上升，但是其最大损伤应变能释放率增大幅度较缓。因此，尽管高含水状态下煤岩，由于水分的作用使得煤岩损伤变量D大幅度增加，从而造成内部损伤更加严重，但其损伤剧烈程度并未大幅度上升，再结合图13可知，随着含水率增大，煤岩损伤应变能释放率增速显著降低，这与冲击地压防治理论并不违背,这与来兴平等人在文献[26]中结论完全相反。
4. 讨 论
4.1 采用E0替代Eu的合理性
为使计算弹性能Ue更加方便，一般采用弹性模量E0替代Eu。本文为验证该结论的合理性，通过静态条件下的加−卸载试验进行验证。试验设备采用MTS815全数字液压伺服试验系统（见上文），本次试验只考虑轴向荷载振动，采用正弦波进行加载，振动频率为2 Hz，振动循坏40次。本文取C3-2、R2-2为加-卸载试验试件。
计算煤岩样的卸载弹性模量Eu前，因原图初始阶段处的循环曲线过于密集，从而影响到数据识别，因此按照原图尺寸比例进行二次作图与数据提取，并删除对本文理论论证意义不大的曲线。处理后的曲线如图15所示。
根据图15可知，煤岩加−卸载试验曲线的切线斜率近似平行，由定量计算可知，卸载弹性模量Eu与弹性模量E0吻合度较高，计算的|E0－Eu|/E0值为：
0.00276 ～0.0198 ，0.0015 ～0.0033 。结果充分表明煤岩的E0与Eu较为吻合。因此，本文在计算弹性能Ue时采用E0替代Eu是合理可行的。5. 结论与展望
1)不同含水率下煤岩力学性质不同，随着含水率增大，煤岩体的峰值应变、抗压强度与弹性模量均下降，且呈先陡后缓的劣化趋势。
2)从能量角度分析，随着含水率增大，煤岩体储存弹性应变能的能力在逐渐降低，耗散能占总应变能的比重逐渐增大，煤岩体在破坏过程中吸收的总应变能逐渐降低，这表明煤岩的破坏剧烈程度在逐渐下降。
3)基于最小耗能原理构建的不同含水率煤岩损伤本构模型表明：随着含水率增加，煤岩的损伤门槛值逐渐降低，且线性拟合度较高。干燥状态下，煤岩体在应力峰值处损伤变量分别为0.36、0.28，当含水率增至自然状态时，煤岩体在应力峰值处损伤变量值分别下降0.09、0.18，但当含水率增至饱水状态时，煤岩体在应力峰值处损伤变量值反而大幅度分别上升0.102、0.49，由此得出煤岩应力峰值处损伤变量呈先减后增的发展趋势。
4)基于最小耗能原理及热力学，建立了不同含水率煤岩损伤应变能释放率演化模型，模型表明：低含水率煤岩较干燥煤岩的最大损伤应变能释放率大幅度下降，降幅分别为45.61%、31.29%，而随着含水率继续增大，其最大损伤应变能释放率变化幅度仅分别为3.08%、8.80%。低含水率煤岩较干燥煤岩，在应力峰值处损伤变量与最大损伤应变能释放率变化规律一致，均呈下降趋势。高含水率煤岩较低含水率煤岩，在应力峰值处损伤变量呈大幅度上升，但是其最大损伤应变能释放率增加幅度不显著，增加幅度仅分别为3.08%、8.80%，这表明煤岩内部损伤更加严重，但破坏剧烈程度并未大幅度增加，这与冲击地压防治理论并不违背。
研究不同含水率下煤岩的能量及损伤演化机制，这是地下煤矿开采利用岩层注水预防冲击地压的内在机制，也为煤岩矿柱水害预测评价与岩石损伤评估提供一定参考价值。
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图 2 不同含水率煤岩应力−应变曲线
Figure 2. Stress-strain curves of coal rock with different water contents
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图 7 不同含水率煤岩能量演化规律
Figure 7. Energy evolution pattern of coal rock with different water content rate
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图 8 不同含水率下煤岩体损伤演化研究流程
Figure 8. Flowchart for study coal rock damage evolution under different water contents
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图 9 不同含水率煤岩损伤演化曲线
Figure 9. Damage evolution curves of coal rock with different water contents
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图 10 不同含水率煤岩损伤门槛值、峰值处损伤变量变化趋势
Figure 10. Trend of damage threshold and critical value of coal rock with different water content rate
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图 11 不同含水率煤体单轴压缩试验曲线与理论模拟值
Figure 11. Uniaxial compression test curves and theoretical simulation values of coal bodies with different water contents
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图 12 不同含水率岩样单轴压缩试验曲线与理论模拟值
Figure 12. Uniaxial compression test curves and theoretical simulation values for rock samples with different water contents
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图 13 不同含水率煤岩损伤应变能释放率变化趋势
Figure 13. Trend of damage strain energy release rate of coal rock with different water contents
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图 14 不同含水率煤岩最大损伤应变能释放率变化趋势
Figure 14. Trend of maximum damage strain energy release rate of coal rock with different water contents
表 1 煤体各状态含水率
Table 1 Moisture content of coal in each state
试样编号 含水率/% 试样编号 含水率/% 试样编号 含水率/% C1-1 0 C2-1 3.22 C3-1 5.43 C1-2 0 C2-2 3.27 C3-2 5.47 C1-3 0 C2-3 3.25 C3-3 5.52 
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表 2 砂岩各状态含水率
Table 2 Water content of sandstone in each state
试样编号 含水率/% 试样编号 含水率/% 试样编号 含水率/% R1-1 0 R2-1 2.38 R3-1 3.72 R1-2 0 R2-2 2.37 R3-2 3.74 R1-3 0 R2-3 2.41 R3-3 3.79
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表 3 不同含水率砂岩峰值处能量特征值
Table 3 Rends of energy changes at peak of sandstones with different water contents
试样编号 含水率/% 峰值处弹性应变能Ue/（MJ·m−3） 峰值处耗散能Ud/（MJ·m−3） 破坏时总应变能U0/（MJ·m−3） R1-1 0 0.3456 0.0949 0.4405 R2-2 2.37 0.1601 0.0602 0.2203 R3-3 3.79 0.0941 0.0487 0.1428
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表 4 不同含水率煤体峰值处能量特征值
Table 4 Trends of energy changes at peak of coal bodies with different water contents
试样编号 含水率/% 峰值处弹性应变能Ue/（MJ·m−3） 峰值处耗散能Ud/（MJ·m−3） 破坏时总应变能U0/（MJ·m−3） C1-1 0 0.3541 0.1204 0.4964 C2-3 3.25 0.2001 0.0882 0.2882 C3-2 5.47 0.1402 0.0831 0.2233
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