0.   引　　言

采煤机截割路径优化为调高控制提供目标轨迹，是实现采煤机智能化调高的关键技术之一，对促进采煤工作面智能化具有重要意义。采煤机截割路径优化在满足采煤工艺、煤质要求及设备适应性等限制条件的基础上，为达到尽可能增大回采率的目的，根据获得的工作面信息合理优化滚筒截割路径，作为采煤机调高控制的目标轨迹，为采煤机摇臂调高控制提供基础。由于井下煤岩界面变化复杂、工作面走向长度大，采煤机截割路径优化问题复杂，快速、可靠的截割路径约束优化方法仍需要进一步研究。为了解决采煤机截割路径优化问题，首先需要确定设计变量、约束条件和目标函数，构建截割轨迹优化数学模型；然后设计截割路径约束优化算法进行截割轨迹优化。然而，由于采煤工作面倾向距离长，离散截割路径曲线的点数多，设计变量的选择会严重影响优化效果，如果设计变量数目巨大，优化效率将严重降低，因此选择合适的设计变量，是重点之一；截割路径约束条件应充分考虑实际工作中顶底板平滑性及煤质要求等限制，不同约束条件的尺度可能不同，因此设计合适的约束条件处理方法，使得所有约束条件都能同时被满足，是重点之二。现有截割路径优化方法^[1-3]一般将设计变量设置为各离散截割轨迹点的纵坐标，通过将目标函数最优化，得到优化后的截割轨迹。其中，文献[1]中的优化目标是截割煤炭量的最大化；文献[2-3]中的优化目标是截割轨迹与煤岩界面的纵坐标差值最小化。然而，当设计变量的数目巨大时，往往无法得到理想的优化效果，表现为优化后的截割轨迹抖动、约束条件无法被完全满足等，因此，减少设计变量数目十分重要。曲线拟合是对离散点处理的主要方式，根据所采用曲线的不同，有Bézier曲线拟合、B样条曲线拟合以及NURBS曲线拟合等^[4]。为了得到光滑的采煤机截割路径，权国通等^[5]提出一种基于粒子群三次样条优化的全局优化方法，但其没有考虑实际生产中采煤工艺、设备的适应能力等要求。另外，由于采煤工作面走向长度较长，煤岩界面起伏变化，为了更好地拟合煤岩界面曲线，应使用自由度更高的曲线。B样条曲线自由度高，修改某一控制点只引起与该控制点相邻的曲线形状发生变化；数学性质好，能精确表示大量形状，因此具有更好的函数拟合性能^[6]。

优化算法主要包括拉格朗日乘数法^[7]、KKT条件法^[8]和一些现代优化算法，如遗传算法^[9]、模拟退火算法^[10]、粒子群算法^[11]、蚁群算法^[12]、萤火虫算法^[13]、免疫算法^[14]、克隆选择算法^[15]、差分进化算法^[16]、蜉蝣算法^[17]等。其中，蜉蝣算法是一种粒子群算法的改进算法，融合了粒子群算法、遗传算法和萤火虫算法的优点，可被视为一种混合算法，具有更优越的优化性能，其通过婚舞和随机飞行操作，增强算法勘探能力，避免陷入局部最优解。提出合适截割轨迹优化方法，提高优化效果和速度，是解决采煤机截割路径优化问题的重点之三。

综上所述，笔者提出一种基于B样条曲线拟合和蜉蝣算法的新型截割轨迹约束优化方法，以B样条曲线节点系数作为设计变量，考虑采煤机截割工艺、煤质要求等限制，以拟合曲线与煤岩界面差值的最小化作为优化目标，实现采煤机滚筒截割轨迹的优化；基于多段赋值法函数法处理约束，根据约束情况自适应调整惩罚函数系数，避免陷入局部极值；使用修正蜉蝣算法计算全局优化问题，进一步提高优化效果。相比于传统方法，所提方法设计变量数目大大减少、实时性好、适用性好、优化效果好。

1.   采煤机智能化调高原理

采煤机的智能化调高技术，主要包括煤岩界面识别技术、截割轨迹优化技术及采煤机调高控制技术，目的是使采煤机自适应煤岩界面变化，进行鲁棒调高控制。其主要流程如下：首先，通过分析煤岩界面传感器或截割状态传感器采集的信号，提取信号特征，设计煤岩界面识别方法，对煤岩界面进行识别；然后，根据获得的工作面信息合理规划滚筒截割路径；最后，以截割优化路径为目标轨迹，建立采煤机智能调高控制系统，实现滚筒轨迹精确跟踪控制。

图1为采煤机工作示意。采煤机的主要功能是采煤和装煤，在保证顶板平整性和液压支架的推移滑溜等前提下，尽可能增大回采率，使采煤机滚筒按目标截割路径进行截割，需要基于识别的煤岩界面进行截割轨迹优化，得到符合给定约束的截割优化轨迹，作为采煤机调高控制的目标截割轨迹，因此，采煤机截割路径优化是采煤机智能化调高的重点之一，是实现采煤机智能化调高的基础。

图  1  采煤机工作示意

Figure  1.  Schematic diagram of shearer working

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2.   修正蜉蝣法

2.1   蜉蝣算法

蜉蝣算法是模拟成年蜉蝣行为而提出的方法，具有粒子群和进化算法的主要优势，被应用于许多实际优化问题中^[18-20]。本文将使用蜉蝣算法求解截割轨迹优化问题。

蜉蝣算法首先生成2组蜉蝣，分别代表雄性和雌性蜉蝣。对于雄性蜉蝣，定义$ D $维向量$ {\boldsymbol{x}} = ({x_1},\; {x_2},\; \cdots ,\;{x_D}) \in {\mathbb{R}^D} $为候选解，其中$ \mathbb{R} $为实数集，使用目标函数$ f({\boldsymbol{x}}) \in \mathbb{R} $，评估不同候选解对应的效果；定义速度${\boldsymbol{ v}} = ({v_1},\;{v_2},\; \cdots ,\;{v_D}) \in {\mathbb{R}^D} $为候选解位置的变化快慢。根据所有蜉蝣的最佳位置$ {\boldsymbol{gbest }}= (g{b_1}, \;g{b_2},\; \cdots ,\;g{b_D}) \in {\mathbb{R}^D} $和每个蜉蝣的最佳位置${\boldsymbol{ pbes}}{{\boldsymbol{t}}_j} = (p{b_{1j}},\;p{b_{2j}},\; \cdots ,\;p{b_{Dj}}) \in {\mathbb{R}^D} $（$ j = 1,\;2,\; \cdots ,\;S $，$ S $是蜉蝣的数目），对该蜉蝣的轨迹进行修改。对于雌性蜉蝣，定义$ D $维向量$ {\boldsymbol{z}} = ({z_1},\;{z_2},\; \cdots ,\;{z_D}) \in {\mathbb{R}^D} $为候选解；定义速度$ {\boldsymbol{w}} = ({w_1},\;{w_2},\; \cdots ,\;{w_D}) \in {\mathbb{R}^D} $为候选解位置的变化快慢。雄性蜉蝣的速度和位置表达式为

其中，$ v_{ij}^t $和$ x_{ij}^t $分别为时间步$ t $在维度$ i,\;i = 1,\;2,\; \cdots ,\;D $，第$ j $个雄性蜉蝣的速度和位置；$ pb_{ij}^t $和$ gb_i^t $分别为时间步$ t $在维度$ i $，第$ j $个雄性蜉蝣的速度最佳位置和所有蜉蝣的最佳位置；$ {a_1} $和$ {a_2} $为正吸引常数；$ \rho $为蜉蝣个体相对于其他蜉蝣的能见度系数；$ \gamma _p^{} $为$ {\boldsymbol{x}}_j^t $和$ {\boldsymbol{pbest}}_j^t = (pb_{1j}^t,\;pb_{2j}^t,\; \cdots ,\;pb_{Dj}^t) $的笛卡尔距离；$ \gamma _g^{} $为$ {\boldsymbol{x}}_j^t $和$ {\boldsymbol{gbest}}_{}^t = (gb_1^t,\;gb_2^t,\; \cdots ,\;gb_D^t) $的笛卡尔距离；$ {\boldsymbol{x}}_j^t = (x_{1j}^t,\;x_{2j}^t,\; \cdots ,\;x_{Dj}^t) $为时间步$ t $，第$ j $个雄性蜉蝣的位置，初始值$ {\boldsymbol{x}}_j^0 $的取值范围定义为$ {\boldsymbol{x}}_j^0 \in ({{\boldsymbol{x}}_{\min }},\;{{\boldsymbol{x}}_{\max }}) $。

雌性蜉蝣的速度和位置表达式为

其中， $ w_{ij}^t $和$ z_{ij}^t $分别为时间步$ t $在维度$ i $，第$ j $个雌性蜉蝣的速度和位置； $ {\gamma _{fm}} $为雌性蜉蝣和雄性蜉蝣的笛卡尔距离；随机运动系数$ {\alpha _v} $，表示雌性蜉蝣未被吸引的系数；$ rand() \in (0,\;1] $是随机函数；$ f({\boldsymbol{z}}_j^t) $、$ f({\boldsymbol{x}}_j^t) $分别为时间步$ t $下第$ j $个雌性蜉蝣和雄性蜉蝣对应的目标函数；${\boldsymbol{ z}}_j^t = (z_{1j}^t,\;z_{2j}^t,\; \cdots ,\;z_{Dj}^t) $为时间步$ t $，第$ j $个雌性蜉蝣的位置，初始值${\boldsymbol{ z}}_j^0 $的取值范围定义为$ {\boldsymbol{z}}_j^0 \in ({{\boldsymbol{z}}_{\min }},{{\boldsymbol{z}}_{\max }}) $。

另外，蜉蝣算法中通过交叉操作代表蜉蝣的交配过程：分别从雄性蜉蝣群体和雌性蜉蝣群体中选择一个蜉蝣，蜉蝣父本$ {\boldsymbol{male }}= (mal{e_1}, \;mal{e_2},\; \cdots , \;mal{e_D}) $和蜉蝣母本${\boldsymbol{ female}} = (femal{e_1},\;femal{e_2},\; \cdots ,\; femal{e_D}) $的选择可以是随机的或者基于目标函数；然后，最好的蜉蝣母本与最好的蜉蝣父本匹配，第二好的蜉蝣母本与的第二好的蜉蝣父本匹配，以此类推。一次交叉操作得到2个蜉蝣后代向量$ {\boldsymbol{offspring1}} = (offsp{1_1},\;\;offsp{1_2},\;\; \cdots\; ,\;\;offsp{1_D}) $、$ {\boldsymbol{offspring2}} \;=\; (offsp{2_1},\;offsp{2_2},\; \cdots ,\;offsp{2_D}) $：

其中，$ \mu $是一个特定范围内的随机数。且蜉蝣后代的初始速度设置为0。

综上所述，蜉蝣算法的流程如图2所示。

图  2  蜉蝣算法流程

Figure  2.  Flow chart of mayfly algorithm

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2.2   蜉蝣算法的改进

基础蜉蝣算法在使用过程中，存在稳定性问题，还有由于探勘能力和局部搜索能力的不平衡导致早熟收敛问题。为了解决上述问题，许多修改算法被提出，以下将列出几例修改方法^[11]。

1）速度限制。将蜉蝣候选解的速度限制在给定范围$ [ - {V_{\max }},\;{V_{\max }}] $内，其中$ {V_{\max }} $为

其中，速度限制系数$ {v_l} \in (0,\;1] $。

2）重力系数。为了提高对探索过程和开发过程的控制，在速度计算式(1)中加入重力系数$ g $。雄性蜉蝣和雌性蜉蝣的速度分别被重新定义为

其中，重力系数$ g $是区间$ [0,\;1] $内的固定值，或者其可设置为在迭代过程中逐步减小的变量，变化规律可给定为

其中$ {g_{\max }} $、$ {g_{\min }} $分别为重力系数的上界和下界；$ \tau $为当前迭代步数；$ {\tau _{\max }} $为最大迭代步数。

3）群舞和随机运动的减少。雄性蜉蝣的群舞由群舞系数$ {d_v} $表征；雌性蜉蝣的随机运动是通过随机运动系数$ {\alpha _v} $表征。为了提高算法性能，将$ {d_v} $、$ {\alpha _v} $修改为逐渐减小的变量$ d_v^{}(t) $、$ {\alpha _v}(t) $。

其中，$ {d_0} $、$ {\alpha _0} $分别为初始群舞系数、初始随机运动系数；$ \delta $是$ (0,\;1) $范围内的一个定值。

4）蜉蝣后代变异。

假设变异概率为$ {p_f} $，若发生变异，则在变异过程中，对选定蜉蝣后代加入随机数。因此，蜉蝣后代被更新为

其中，$ offs{p_{{\mathrm{new}}}} $为更新后的蜉蝣后代；$ offs{p_{{\mathrm{curent}}}} $为更新后的蜉蝣后代；$ N(0,\;1) $均值为0、方差为1的标准正态分布；$ \sigma $为正态分布的标准差。本文中使用的蜉蝣算法是包含上述所有改进的蜉蝣算法，为了书写方便，简称为蜉蝣算法。

3.   采煤机截割路径约束优化方法

3.1   设计变量和目标函数的确定

优化是物理系统分析和决策的重要工具。在数学上，最优化问题是在所有可行解的几何中找到最优解。

最优化问题的求解主要包括以下过程：① 确定最大化（最小化）目标和约束条件；② 决定设计变量；③ 使用函数形式表达优化目标；④ 使用函数形式表达约束条件；⑤ 使用合适优化方法求解最优化数学问题。设计变量和目标函数的确定过程如下。

给定$ {\boldsymbol{u}} = \{ 0 \leqslant {k_0} = \underline{k} ,\;{k_1},\;{k_2},\; \cdots ,\;{k_{r - 1}},\;{k_r} = \bar k\} $是在区间$ [\underline{k} ,\;\bar k] $内非递减的实数序列。$ {\boldsymbol{u}} $被称作节点向量。不失一般性地，假设$ [\underline{k} ,\;\bar k] = [0,\;1] $。根据德布尔递归关系^[21]，$ l $次（等价于$ l - 1 $阶）B样条曲线基函数$ {\varphi _{i,l}}(y) $定义为：

其中，$ r $ 为一个给定常数，1次B样条基函数是分段常数函数，包括区间$ [{k_i},\;{k_{i + 1}}) $内$ {\varphi _{i,1}}(y) $的支集，即常数1，和其他位置的函数值0。由于$ {k_i} $、$ {k_{i + 1}} $有可能相等，支集可以是点或者是一个区间。一个节点出现在节点向量的次数被称为节点的多样性，这影响了基函数的形状和性质。

使用B样条曲线拟合截割轨迹，$ l $次B样条曲线由$ M $个分段多项式组成：

其中，$ {\boldsymbol{b }}= ({b_0},\;{b_1},\; \cdots ,\;{b_M}) $为控制节点系数向量，其对曲线的形状具有一定决定作用。B样条曲线应满足$ r = l + M $，其中，$ M $为控制节点数^[22]。

另外，在很多实际应用中，非递减节点向量${\boldsymbol{ b}} $的重复度设置为B样条曲线的次数$ l $，即$ {k_0} = {k_1} = \cdots = {k_{l - 1}} = \underline{k} $，$ {k_{M + 1}} = {k_{M + 2}} = \cdots = {k_{M + l}} = \bar k $，这种节点向量被称为非周期性节点向量。对于非周期性控制节点向量，B样条曲线的首尾插值点等于首尾控制节点系数^[23]，即：

其中，$ {y_1} $、$ {y_N} $分别是首、尾插值点的自变量取值，$ N $为数据点数。

优化目标是在满足采煤机截割工艺、煤质要求等限制的前提下，使得截割轨迹$ C(y) $尽量跟随煤岩界面曲线$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} ({y_j}),\;j = 1,\;2,\; \cdots ,N,\;N \geqslant l $，其中，自变量取值$ {y_j} $为煤岩界面曲线的水平坐标。离散截割轨迹与离散煤岩界面曲线的最小方差（SSE）定义为：

为了简化计算，使用矩阵代数运算求得$ {\boldsymbol{b}} $的代数解。在不考虑约束的前提下，SSE的最小值为0，则可得到：

写成矩阵形式有：

其中，$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{{\boldsymbol{h}}} = [\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} ({y_1}),\;\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} ({y_2}),\; \cdots ,\;\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} ({y_N})] $，${\boldsymbol{ R}} = [{{\boldsymbol{\varphi}} _l}({y_1}),\;{{\boldsymbol{\varphi}} _l}({y_2}), \; \cdots , \;{{\boldsymbol{\varphi}} _l}({y_N})] $和$ {{\boldsymbol{\varphi }}_l}({y_j}) = {[{\varphi _{0,l}}({y_j}),\;{\varphi _{1,l}}({y_j}),\; \cdots ,\;{\varphi _{M,l}}({y_j})]^{\mathrm{T}}},\; j = 1,\;2,\; \cdots ,N $。因此，$ {\boldsymbol{b}} $的代数解为$ \hat {\boldsymbol{b}} = \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{{\boldsymbol{h}}} {{\boldsymbol{R}}^{\mathrm{T}}}{({\boldsymbol{R}}{{\boldsymbol{R}}^{\mathrm{T}}})^{ - 1}} = ({\hat b_0},\;{\hat b_1},\; \cdots ,\;{\hat b_M}) $。另外，$ {\boldsymbol{R}} $通过最小化目标函数求得。然后根据式(14)(15)，截割优化轨迹可计算为

由于式(16)、(17)没有考虑数据点数$ N $的影响，不能很好地描述目标轨迹与实际轨迹的误差^[6]。本文选择离散截割轨迹和离散煤岩界面曲线的均方根误差（RMSE）作为目标函数，其定义如下：

因此，优化目标转化为：满足约束条件的前提下，最小化目标函数，以实现约束下截割轨迹和煤岩界面尽可能重合。显然，目标函数RMSE的最小化取决于节点向量$ {\boldsymbol{u}}=[\underset{l个}{\underbrace{0,0,\cdots ,0}},{k}_{l},\cdots ,{k}_{M},\underset{l个}{\underbrace{1,1,\cdots ,1}}] $。

3.2   约束条件的确定

截割轨迹优化的约束有很多，考虑到截割工艺、设备和煤质要求，主要包括：

1）截割轨迹平滑性。截割优化轨迹应是平滑轨迹，即截割曲线的二阶导数不应该过大。因为，如果顶板出现“尖锐”的转角，明显的突起和凹陷，会影响顶板支护；如果底板凹凸不平，会使得推移滑溜不顺畅。在实际生产中，顶板倾斜角的最大变化率为10°～20°^[24]。考虑误差的影响，设定顶板倾斜角最大变化率为8°，因此：

其中，$ \varDelta = {y_{w + 1}} - {y_w} $为煤岩界面每相邻2个识别点的距离。

2）截割轨迹端点位置 。截割轨迹两端点处的高度应等于运输巷和回风巷的对应点高度。该约束定义为：

其中，$ {\hbar _c} $和$ {\hbar _v} $分别是运输巷和回风巷对应点的高度值。

3）岩石截割率。当截割轨迹高于煤岩界面时，煤炭中矸石含量增加，煤质受到影响。由于实际生产中，煤炭含矸量受到煤层中夹矸和截割岩石导致的含矸量的共同影响。该项要求的目的在于给技术人员提供参考。只限制截割岩石导致的含矸率，则限制岩石截割率该项指定义如下：

其中，$ {\partial _{\max }} \in (0,\;1) $是预设的最大岩石截割率。

4）连续性要求。采煤机当前截割轨迹应与上一刀截割轨迹具有连续性，以保证液压支架的推移滑溜和与顶底板的平整接触。如果相邻两刀截割轨迹差距较大，会导致液压支架受力不均，支架歪斜等。然而，由于采煤机每次推进距离只有0.6 ～ 1.2 m，因此相邻两刀煤岩界面曲线基本相同，截割轨迹完全符合连续性要求，该约束条件自然满足。

3.3   截割路径优化模型构建

在设计变量、目标函数和约束条件确定后，采煤机滚筒截割轨迹优化可写作如下数学模型：

其中，$ {\sigma _q} $是一个数值很小的常数；$ {\alpha _q} $为正整数；$ {q_1}({\boldsymbol{k}}),\;{q_2}({\boldsymbol{k}}),\;{q_3}({\boldsymbol{k}}),\;{q_4}({\boldsymbol{k}}) $为约束函数。

罚函数法是最简单、最常见的将有约束问题转化成无约束问题的一类方法，广泛应用于无约束优化算法中，以解决有约束优化问题。使用罚函数法处理约束，即当不满足约束时，对目标函数施加惩罚，使得目标函数往优化反方向变化。罚函数法包括静态罚函数法和动态罚函数法。静态罚函数法需要事先给定各个约束对应的罚函数系数值，数值过大容易导致优化算法陷入局部最值，而数值过小往往导致约束不能起实际作用，因此罚函数系数的选择十分困难。为了解决这个问题，本文使用多段赋值罚函数，根据约束的不满足程度动态改变罚函数系数值，从而得到满意的优化效果。多段赋值罚函数^[4]的定义如下：

其中，$ \xi $为优化算法中的迭代次数；$ \ell (\xi ) $为一个可以随$ \xi $动态变化的惩罚项系数；$ H(\boldsymbol k) $为惩罚因子，其定义如下：

其中，$ \theta [{q_i}({\boldsymbol{k}})] $为一个多段赋值函数；$ \chi ({\boldsymbol{k}}) $为罚函数的幂，$ {\varsigma _i}({\boldsymbol{k}}) = {\mathrm{max}}[0,\;{q_i}({\boldsymbol{k}})],\;i = 1,\;2,\; \cdots ,\;m $，$ m $为约束个数。

使用多段赋值罚函数法处理约束，因此，有约束的目标函数可以表示为

综上所述，将采煤机滚筒截割轨迹优化问题转换成了一个离散、有约束、单目标、确定型最小化问题。由于蜉蝣算法结合了粒子群和进化算法的主要优势，不容易陷入局部最值等优点，本文使用蜉蝣算法寻找最优截割轨迹。

蜉蝣算法初始化需要确定雌性蜉蝣数目和雄性蜉蝣数目$ S $，吸引常数$ {a_1},\;{a_2} $，能见度系数$ \rho $，群舞系数$ {d_v} $，随机运动系数$ {\alpha _v} $，最大迭代次数$ {\tau _{\max }} $等预设参数和初始位置${\boldsymbol{ x}}_j^0,\;{\boldsymbol{z}}_j^0,\;j = 1,\;2,\; \cdots ,\;S $，初始速度$ {\boldsymbol{v}}_j^0,\;{\boldsymbol{w}}_j^0, \;j = 1,\;2,\; \cdots ,\;S $。基于B样条曲线的采煤机截割轨迹优化数学模型构建需要确定B样条曲线次数$ l $，设计变量数目$ M $，最大岩石截割率$ {\partial _{\max }} $等参数。给定预设参数后，即可根据式(27)、式(28)和图2使用基于蜉蝣算法的截割轨迹优化方法得到截割优化离散轨迹。

4.   仿真分析

实际煤岩界面会出现褶皱、陷落柱和断层等地质构造，为采煤机截割工作和液压支架后续推进等带来麻烦。采煤机智能化调高控制一般用于中厚及厚煤层中，以中厚煤层为例，其煤层厚度范围在1.3 ～ 3.5 m^[25]。本节针对上述3种地质构造进行采煤机滚筒截割轨迹优化分析^[1]。煤岩界面离散曲线每个数据点横坐标间隔1.5 m，使用B样条曲线拟合截割轨迹，其中控制节点数$ M = 40 $，B样条曲线次数$ l = 3 $，最大岩石截割率$ {\partial _{\max }} = 0.05 $，$ {\alpha _q}{\text{ = }}2 $，$ {\sigma _q}{\text{ = }}{10^{ - 8}} $。使用多段赋值罚函数法处理约束，其中，$ \ell (\xi ){\text{ = }}100 $为常数，$ \chi ({\boldsymbol{k}}) $、$ \theta [{q_i}({\boldsymbol{k}})] $^[4]分别设置为

为了验证所提基于蜉蝣算法和B样条曲线拟合的采煤机截割路径约束优化方法的效果，使用所提的基于粒子群算法和B样条曲线拟合的采煤机截割路径约束优化方法进行对比分析。即得到有约束的目标函数式(27)、式(28)后，分别使用修正蜉蝣算法和粒子群算法^[11]进行截割轨迹优化，并分析优化效果。迭代停止条件设置为达到最大迭代次数$ {\xi _{\max }} = 200 $后停止。经过多次参数调试，选择使得上述方法的效果较好的设计参数值，为了验证方法对不同地质构造的鲁棒性，所有仿真的设计参数不变。另外，为了提高粒子群算法和蜉蝣算法的运算性能，所使用的算法都是进行前文中优化改进后的算法。粒子群算法的主要参数见表1。

表  1  粒子群算法参数

Table  1.  Parameters of particle swarm algorithm

粒子群个数$ {S_p} $	速度调整 系数$ {c_1} $	速度调整 系数$ {c_2} $	变异概率$ {p_o} $	惯性权重 系数$ {\rho _g} $
50	1	1.5	0.01	0.9

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基础蜉蝣算法的主要参数见表2^[11]。采用2.2节中的优化方法对基础蜉蝣算法进行优化，修正蜉蝣算法的附加参数见表3。

表  2  标准蜉蝣算法参数

Table  2.  Parameters of standard mayfly algorithm

雄/雌性蜉蝣 个数$ S $	吸引 常数$ {a_1} $	吸引 常数$ {a_2} $	能见度 系数$ \rho $	群舞 系数$ {d_v} $	随机运动 系数$ fl $
20	1	1.5	1.5	0.1	0.1

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表  3  修正蜉蝣算法的附加参数

Table  3.  Addictive parameters of modified mayfly algorithm

速度限制 系数$ {v_l} $	重力系数g	初始群舞 系数$ {d_0} $	初始随机运动 系数$ {\alpha _0} $	变异概率$ {p_f} $
0.1	0.8	0.1	0.1	0.01

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使用Matlab编写程序，由于每次优化过程中，蜉蝣算法存在随机性，如蜉蝣初始位置的随机生成等。考虑褶皱、陷落柱和断层3种地质构造，进行4种情况仿真，包括褶皱模拟煤岩界面、陷落柱模拟煤岩界面、断层模拟煤岩界面和一个包含以上3种地质构造的复杂模拟煤岩界面。为了消除随机过程对优化效果的影响，每个仿真重复20次，并输出单次仿真的结果图。根据前文分析，优化后的轨迹应是平滑的B样条曲线，且满足3.2节中的约束要求。在本节仿真中输出的优化轨迹采样间隔为1 m，截割轨迹的采样点位置可以根据实际情况进行选择。

另外，为了量化分析优化结果，根据式(20)、式(21)，分别计算最优RMSE（RMSE(best)）和平均RMSE（RMSE(avg)）；根据式(24)、式(25)，对每次仿真结果，计算限制条件$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的函数值并求20次重复仿真的平均值和最优值，分别记做$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) ({\mathrm{best}}) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k)({\mathrm{best}}) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k)({\mathrm{best}}) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k)({\mathrm{best}}) $，确认限制条件是否被满足，显然当上述函数的函数值为0或非常小的正数时，约束条件可视为被满足。

4.1   褶皱煤岩界面仿真

使用正弦曲线$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} = 2.3 + 0.7\sin (0.12y) $模拟褶皱煤岩界面，该曲线的二阶导数为$ - 0.010\;08\sin (0.12y) $，由于其绝对值在范围$ 0.14{\Delta ^2} $内，满足式(21)、(22)里的限制条件，因此优化后的截割轨迹与煤岩界面应基本重合。煤岩界面离散曲线$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} $为上述煤岩界面曲线的等间隔采样。

图3显示了基于B样条曲线拟合和蜉蝣优化的褶皱地质截割轨迹优化结果和目标函数值，基于B样条曲线拟合和粒子群算法褶皱地质截割轨迹优化结果和目标函数值如图4所示。对比图3、图4可以看出，使用蜉蝣算法和粒子群算法都能较好地拟合煤岩界面离散轨迹，得到光滑B样条曲线，但蜉蝣算法的收敛速度更快。

图  3  基于B样条曲线拟合和蜉蝣优化的褶皱地质截割轨迹优化结果和目标函数值

Figure  3.  Cutting path optimization result and objective function value of folds based on B-spline curve fitting and mayfly optimization

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图  4  基于B样条曲线拟合和粒子群算法褶皱地质截割轨迹优化结果和目标函数值

Figure  4.  Cutting path optimization result and objective function value of folds based on B-spline curve fitting and particle swarm optimization

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表4为模拟褶皱地质下RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的平均值和最优值。可以看出，在该情况下，基于B样条曲线和蜉蝣群算法的RMSE(avg)、RMSE(best)略小于基于B样条曲线和粒子群算法。总的来说，所提2种方法都具有很好的拟合效果，能解决该情况下的截割轨迹优化问题，其中蜉蝣算法的收敛性能更好。

表  4  褶皱地质下RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的平均值和最优值

Table  4.  Averages and optima of RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $ value in fold areas

项目	基于B样条曲线和蜉蝣 算法截割轨迹优化	基于B样条曲线和粒子群 算法截割轨迹优化
RMSE(avg):	2.7774×10−4	4.3198×10−4
RMSE(best):	2.0508×10−4	2.8390×10−4
$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $(best):	0	0

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4.2   陷落柱煤岩界面仿真

对于陷落柱地质构造，模拟的是一个长约9.5 m，高约0.6 m的小陷落柱，煤岩界面离散曲线$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} $为上述煤岩界面曲线的等间隔采样。在这种情况下，式(24)、式(25)里的约束条件无法被满足，优化截割轨迹应是符合约束条件的光滑B样条曲线。

图5为基于B样条曲线拟合和蜉蝣优化的陷落柱地质截割轨迹优化结果和目标函数值。基于B样条曲线拟合和粒子群算法陷落柱地质截割轨迹优化结果和目标函数值如图6所示。对比图5、图6可以看出，使用粒子群算法和蜉蝣算法都能得到光滑的截割优化轨迹，其中蜉蝣算法的收敛性能更好。

图  5  基于B样条曲线拟合和蜉蝣优化的陷落柱地质截割轨迹优化结果和目标函数值

Figure  5.  Cutting path optimization result and objective function value of subsidence based on B-spline curve fitting and mayfly optimization

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图  6  基于B样条曲线拟合和粒子群算法陷落柱地质截割轨迹优化结果和目标函数值

Figure  6.  Cutting path optimization result and objective function value of subsidence based on B-spline curve fitting and particle swarm optimization

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为了进一步分析2种方法的优化结果，并验证其截割优化轨迹是否满足所有约束条件，表5统计了模拟陷落柱地质下RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的平均值和最优值，显然这2种方法都能够得到满足给定约束条件的优化截割轨迹，其中基于B样条曲线和粒子群算法的RMSE(avg)、RMSE(best)、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k)({\mathrm{best}}) $都略小于基于B样条曲线和蜉蝣算法的对应值。但总体上看，2种方法都能很好地解决陷落柱煤岩界面的截割轨迹优化问题。

表  5  陷落柱地质下RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的平均值和最优值

Table  5.  Averages and optima of the RMSE, $ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $ in subsidence areas

项目	基于B样条曲线和蜉蝣 算法截割轨迹优化	基于B样条曲线和粒子群 算法截割轨迹优化
RMSE(avg):	2.6309×10−2	2.4172×10−2
RMSE(best):	2.7049×10−2	2.6309×10−2
$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $(avg):	3.1470×10−5	1.5906×10−5
$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $(best):	3.8396×10−15	0
$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $(best):	0	0

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4.3   断层煤岩界面仿真

对于断层煤岩界面，模拟的是落差为1m的断层，煤岩界面离散曲线$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} $为上述煤岩界面曲线的等间隔采样。此时，尖角转角的顶点处二阶导为无穷大，显然不符合式(24)(25)里的第一个约束条件，使用基于B样条曲线和蜉蝣算法、基于B样条曲线和粒子群算法的2种截割轨迹优化方法处理后，截割优化轨迹应该是符合所有约束条件的光滑B样条曲线。

图7显示了基于B样条曲线拟合和蜉蝣优化的断层地质截割轨迹优化结果和目标函数值。基于B样条曲线拟合和粒子群算法断层地质截割轨迹优化结果和目标函数值如图8所示。对比图7、图8可以看出，使用基于B样条曲线拟合和蜉蝣优化的截割轨迹优化方法，和基于B样条曲线拟合和粒子群算法的截割轨迹优化方法都能将转角处的尖角圆滑化，得到较为光滑的截割轨迹曲线，且2种方法的收敛速度都较快。

图  7  基于B样条曲线拟合和蜉蝣优化的断层地质截割轨迹优化结果和目标函数值

Figure  7.  Cutting path optimization result and objective function value of faults based on B-spline curve fitting and mayfly optimization

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图  8  基于B样条曲线拟合和粒子群算法断层地质截割轨迹优化结果和目标函数值

Figure  8.  The cutting path optimization result and objective function value of faults based on B-spline curve fitting and particle swarm optimization

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表6为断层地质下RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的平均值和最优值。从表6可以看出，2种方法得到的截割优化轨迹都满足所有约束条件，其中基于B样条曲线和蜉蝣算法的RMSE(avg)、RMSE(best)略小于基于B样条曲线和粒子群算法的对应值。而后者的$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k)(avg) $略小于前者。综上所述，2种方法都能解决该种情况下的截割轨迹优化问题。

表  6  断层地质下RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的平均值和最优值

Table  6.  Averages and optima of the RMSE, $ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $ in fault areas

项目	基于B样条曲线和蜉蝣 算法截割轨迹优化	基于B样条曲线和粒子群 算法截割轨迹优化
RMSE(avg):	1.0781×10−1	1.2376×10−1
RMSE(best):	1.050×10−1	1.2105×10−1
$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $(avg):	1.5539×10−4	0
$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $(best):	0	0

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4.4   复杂煤岩界面仿真

这里考虑一个包括褶皱、陷落柱、断层特征的复杂煤岩界面，煤岩界面离散曲线$ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\smile}$}}{h} $为上述煤岩界面曲线的等间隔采样。该模拟煤岩界面不符合式(24)(25)里的约束条件，使用基于B样条曲线和蜉蝣算法、基于B样条曲线和粒子群算法的2种截割轨迹优化方法处理后，截割优化轨迹应该是符合所有约束条件的光滑B样条曲线。

图9显示了基于B样条曲线和蜉蝣算法的复杂煤岩界面截割轨迹优化结果和目标函数值。基于B样条曲线和粒子群算法复杂煤岩界面截割轨迹优化结果和目标函数值如图10所示。对比图9、图10可以看出，使用基于B样条曲线和蜉蝣算法的截割轨迹优化方法，和基于B样条曲线和粒子群算法的截割轨迹优化方法都能将尖锐转角圆滑化，得到光滑截割轨迹曲线，但前者明显能更好地跟随煤岩界面特征；后者收敛快于前者，这是因为其陷入了局部极小值，并没有得到最优解。

图  9  基于B样条曲线和蜉蝣算法的复杂煤岩界面截割轨迹优化结果和目标函数值

Figure  9.  The cutting path optimization result and objective function value of the complex coal-rock interface based on B-spline curve fitting and particle swarm optimization

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图  10  基于B样条曲线和粒子群算法复杂煤岩界面截割轨迹优化结果和目标函数值

Figure  10.  Cutting path optimization result and objective function value of complex coal-rock interface based on B-spline curve fitting and particle swarm optimization

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表7为复杂煤岩界面下RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的平均值和最优值。从表7可以看出，基于B样条曲线和蜉蝣算法的截割轨迹优化方法的RMSE(avg)、RMSE(best)远小于基于B样条曲线和粒子群算法的截割轨迹优化方法，这进一步说明了前者能更好地跟随煤岩界面特征；而且，2种方法的$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k)({\mathrm{avg}}) $、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k)({\mathrm{best}}) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k)({\mathrm{best}}) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k)({\mathrm{best}}) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k)({\mathrm{best}}) $均为0，说明使用这2种方法时，限制条件都被满足。

表  7  复杂煤岩界面下RMSE、$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $、$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $的平均值和最优值

Table  7.  Averages and optima of the RMSE, $ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $, $ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $ in the scenario of the complex coal-rock interface

项目	基于B样条曲线和蜉蝣 算法截割轨迹优化	基于B样条曲线和粒子群 算法截割轨迹优化
RMSE(avg):	4.7046×10−2	1.5306×10−1
RMSE(best):	1.8648×10−2	1.4368×10−1
$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _1}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _2}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _3}(\boldsymbol k) $(best):	0	0
$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $(avg):	0	0
$ {\varsigma _4}(\boldsymbol k) $(best):	0	0

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综上所述，在这种情况下，基于B样条曲线和蜉蝣算法的截割轨迹优化方法效果远远好于使用基于B样条曲线和粒子群算法的截割轨迹优化方法，前者具有更好的鲁棒性和适应能力，能够很好地解决复杂煤岩界面的截割轨迹优化问题。而值得注意的是，实际煤岩界面沿采煤机在刮板输送机上行走方向的起伏变化一般是复杂无规律的，此时使用基于B样条曲线和蜉蝣算法的截割轨迹优化方法能得到更理想的效果。

5.   结　　论

1）根据采煤工作面煤岩界面特点、顶板平整性和液压支架的推移滑溜等要求与回采率最大化目标，选择高性能全局优化算法、设计变量，建立合适的目标函数、约束条件表达式，为采煤机滚筒截割路径优化问题奠定基础。

2）为了解决采煤机截割路径约束优化问题，提出基于B样条曲线拟合和现代全局优化方法的新型截割轨迹约束优化算法。基于B样条曲线节点系数构建新型目标函数，设计变量少、计算复杂度低；基于多段赋值罚函数法自适应调节罚函数系数，避免陷入局部极小值，提高了优化效果；使用修正蜉蝣算法进行截割路径优化，实现了对截割轨迹快速、可靠的约束优化。

3）为了验证所提算法的有效性与高效性，考虑褶皱、陷落柱和断层3种地质构造，与复杂模拟煤岩界面情况进行对比仿真研究，定性与定量分析结果表明，所提基于B样条曲线拟合和蜉蝣算法的截割路径优化方法设计变量少、计算复杂度低、适用性好、收敛速度快、优化效果好。