0 引 言
煤层低渗透性是煤层瓦斯抽采的瓶颈，超低温流体液氮注入低渗煤层，使得煤层破裂，是提高低渗煤层渗透率的一种可行方法。任韶然等[1]对型煤开展了液氮冷冲击试验；张春会等[2-3]分别采用数值模拟和理论方法分析了干燥煤液氮冷冻引起的温度应力分布；王乔等[4]利用CT方法观测了钻孔煤注液氮的致裂效果；魏建平等[5]利用声发射监测方法分析了液氮作用对干燥煤样渗透率的影响。Xu等[6]通过试验研究了液体CO2循环冷裂煤的效果。翟成等[7]对干燥煤样开展液氮冻融循环试验，使用核磁共振方法测试了煤样孔隙结构特征的演化。黄中伟等[8]研究了液氮作用对煤抗压和抗拉强度的影响。文献[9-16]利用自制试验装置对不同饱水度、不同煤种原煤煤样先后开展了液氮溶浸煤试验、半溶浸煤试验和钻孔煤注液氮试验，采用激光共聚焦显微镜、超声波测试仪、表观拍照、显微相机拍照、CT等方法测试液氮作用前后煤样的波速和裂隙宽度变化，分析了煤样初始温度、冻融循环、饱水度、围压和煤种等因素对液氮冷裂煤效果的影响。从目前已有研究来看，液氮冷冻煤致裂已成为低渗煤层致裂增透的一种新方法，饱水度是影响液氮冷裂煤效果的重要因素。若煤饱水，液氮作用下煤内水相变为冰，体积膨胀，在煤内裂隙壁产生冻胀压力，使得煤破裂，渗透率提高。相比于液氮冷冻作用引起的温度应力，水冰相变冻胀力大得多。由此可以推断，煤层的饱水度是影响煤层注入液氮冷裂效果的关键。工程实践中，对于富水煤层，可以直接使用液氮冻融循环冷裂增透煤层，对于贫水煤层，可以先在煤层内钻孔、注水，使得煤层饱水度增加，然后再注入液氮冷裂增透煤层。然而，目前国内外对该项技术中关键参数如注水时间、液氮冷冻时间、注入液氮冷裂增透的范围等都未有研究。为此，笔者建立了钻孔煤注水-注液氮冷冻增透的数学分析模型，利用积分变换方法进行了解析求解，提出了注水时间、液氮冷冻时间等的计算方法。
1 钻孔注水-注液氮冷裂增透煤数学模型
张春会等[12]忽略煤壁与冰的弹性变形，冻胀压力公式为：
(1)
式中，Ei为冰的弹性模量；νi为冰的泊松比；β为水冰相变体积膨胀率，取9%；s为饱水度；ΔT为温差；α为体积热膨胀系数；n为煤的空隙率(孔隙和裂隙)。
煤的饱水度是影响液氮冷裂煤效果的重要因素，若煤不饱和，煤内一些空间为空气占据，煤内水相变为冰的体积膨胀将占据部分空气空间，使得冻胀力减小，若这时的冻胀力刚刚达到抗拉强度，所对应的饱水度即为临界饱水度sL，于是有
=σt
(2)
式中：σt为煤的抗拉强度。
临界饱水度可以表示为：
(3)
1.1 注水数学模型
在工作面煤壁钻孔、注水，由于煤层内原本含瓦斯气体，因此注水过程实际上是利用钻孔内水的压力将煤层中瓦斯驱替，水占据孔隙及裂隙空间的过程。在这一过程中，煤内水在压力作用下的锋面不断扩大，气的锋面不断缩小，交接面处水气压力相同，流量相同。由交界面可将钻孔四周划分为2个区域，如图1所示，即水渗流区和气渗流区。
图1 钻孔注水和液氮冷裂分析示意
Fig.1 Sketch of water and liquid nitrogen injection and cooling
假设煤为均质，渗透率为k，钻孔水压力和圆形地层外边界气压力均保持不变，注水量Q保持稳定，水气两区可近似视作为稳定渗流，在水渗流区，其渗流方程[17]为
(4)
式中：rw为钻孔半径；rc为水气交界面半径(后文也称为注水影响半径)；pw为水渗流区的水压力；r为计算位置到钻孔中心的距离。
在气渗流区，其渗流方程为
(5)
式中：R圆形地层外半径；pg为气渗流区的气压力。
各区间边界条件为
(6)
式中：μw和μg分别为水和气的黏度；Pg为地层原始气压力；Pw为注水压力。
式(4)—式(6)就构成了注水数学模型方程。求解该数学模型方程，水渗流区压力分布为
(7)
由达西定律，水渗流区的渗流速度νw为
(8)
锋面的运动速度为
(9)
式中：φ为煤的孔隙度；t为时间。
于是
(10)
对式(10)积分，钻孔注水至影响半径rc所需的时间t1为
(11)
已有注水试验表明，若注水锋面到达某位置，该位置的煤体不会立即具有很大的饱水度。只有经过润湿时间t2，煤体的饱水度才会达到液氮冷裂所需的临界饱水度。使得rc范围内煤体的饱水度达到临界饱水度所需的注水时间te为
te=t1+t2
(12)
式中：t1为钻孔注水至影响半径所需时间，由式(11)计算；t2为煤样在水作用下润湿至临界饱水度所需时间，通过煤的润湿试验确定。
注水te时间后，rc处煤的饱水度达到临界饱水度，这时rc也称为润湿半径。
1.2 钻孔注液氮冷冻数学模型
注水结束后，向钻孔注入液氮冷冻，使得煤体内水相变为冰，煤体冻裂。停止注液氮后，在地层内热量作用下，煤内冰融化为水流出，煤体的渗透率提高，进而提高煤层瓦斯抽采率。在这一过程中，确定注液氮冷冻时间和冷裂半径对于注液氮提高煤层渗透率工程的设计极为关键。
煤为连续、各向同性介质，煤层内没有热源。液氮注入钻孔，液氮吸收煤层的热量，使得周围煤层温度降低，煤内水相变为冰，假设这一过程中煤的热力学参数不变。参考图1，钻孔半径为rw，地层外半径为R，热量传导方程为
(13)
式中：T为温度；λ=θ/(ρcp)；θ为热传导系数；ρ为煤的密度；cp为比热容。
初值条件和边值条件为
(14)
式中：Tw为钻孔边缘温度；Tc为地层半径R处的温度；T0为煤层初始温度。
对式(14)中的边界条件进行齐次化处理，得
T=T(r，t)=A(r，t)+B(r)
(15)
式中：A(r,t)和B(r)为待定函数。
将式(15)代入式(13)和式(14)，B (r)为
(16)
于是，式(13)和式(14)改写为
(17)
(18)
由分离变量法，A(r,t)可写为[18]：
A(r,t)=A1(t)C0(r)
(19)
式中：A1(t)和C0(r)分别为关于t和r的待定函数。
使用积分变换和分离变量法求解[18-20]，有：
(20)
式中：
和N0分别为第1类0阶贝塞尔函数和第二类0阶贝塞尔函数。
式(20)中βm为下面方程的解为
J0(βmrw)N0(βmR)-J0(βmR)N0(βmrw)=0
(21)
式(20)和式(16)代入式(15)，T(r,t)为
(22)
记作
(23) 
式(23)中，E和F分别表示为
J0(βmR)[βmRN1(βmR)-βmrwN1(βwrw)]}
(24)
βmrwln rwJ1(βmrw)+J0(βmR)-J0(βmrw)]-
βmrwln rwN1(βmrw)+N0(βmR)-N0(βmrw)]
(25)
其中，J1和N1分别为第一类1阶贝塞尔函数和第二类1阶贝塞尔函数，T01和T02分别为
将式(23)—式(25)代入式(22)，T(r,t)可以写为
(26)
使用式(26)可以求解液氮注入钻孔煤冷冻煤层的温度分布，进而可以确定液氮注入钻孔煤的冷裂增透范围和所需的液氮冷冻时间。
2 计算实例
2.1 算例概况
山西潞安常村矿工作面煤层厚度为4.9 m，煤内黏土矿物含量约为13.4%，贫煤，渗透性差，抗拉强度约为0.8 MPa，孔隙度为0.25，冰的弹性模量为2 GPa，泊松比为0.3，煤初始温度35 ℃，ΔT=229.8 ℃，体积膨胀系数α=3.6×10-5℃-1,水相变为冰的体积膨胀系数β=9%。
煤层钻孔半径rw=0.15 m，注水有效影响半径为1.2 m，注水压力为8 MPa，煤层内瓦斯压力为1.1 MPa。水的黏度为1.005×10-3 Pa·s，煤层瓦斯的黏度为1.087×10-5 Pa·s。
煤层的热传导系数θ=1.217 J/(m·s·℃)，密度ρ=1 220 kg/m3，比热容cp=1.1 kJ/(kg·℃)，于是λ=θ/(ρcp)=9.1×10-7 m2/s。
利用式(3)得到煤的临界饱水度为94.2%。
在室内开展煤润湿试验，从干煤润湿到饱水度94.2%所需时间为7.5 h。
2.2 注水
利用式(11)，获得注水压力8 MPa、煤层瓦斯压力为1.1 MPa条件下注水时间与影响半径之间的关系如图2所示。从图2可以看出，注水时间对影响半径有很大影响。随着注水时间增加，影响半径增大，开始时增加较快，而后增加速率减小。注水1.9 h，注水影响半径可达1.2 m。考虑煤润湿至临界饱和度时间7.5 h，注水8.7 h即可满足要求。
图2 注水时间、影响半径和注水压力之间的关系
Fig.2 The relationship between wetting impact radius,water injection pressure and water injection time
储层压力1.1 MPa，影响半径1.2 m，注水压力与注水时间的关系如图2所示。从图2可以看出，随着注水压力增加，所需注水时间减少。注水压力6 MPa是一个拐点。在拐点之前，随着注水压力增加，所需注水时间近似线性减小。当注水压力超过6 MPa后再增加注水压力，达到1.2 m影响半径所需的注水时间也减少，但减少速率明显趋缓，当注水压力达到10 MPa后，再增加注水压力，所需注水时间减小已不明显。提高煤层注水压力将大幅提高工程造价，因此煤层的注水压力不宜超过10 MPa。
2.3 钻孔注液氮冷冻
注水使得钻孔周围1.2 m的煤层达到临界饱水度，然后向钻孔内注入液氮，开展煤层冷裂。常温、常压下液氮的气化温度为-195.8 ℃，于是钻孔边缘煤的温度为-195.8 ℃。煤层的初始温度为35 ℃，远离钻孔煤层温度也为35 ℃。利用式(26)计算得到液氮不同冷冻时间钻孔周围温度分布如图3所示。从图3可以看出，近钻孔处煤层温度低，离开钻孔，煤层温度逐渐升高，这与预期一致。
图3 液氮不同冷冻时间钻孔周围温度分布
Fig.3 Temperature distribution around borehole at different liquid nitrogen cooling time
将钻孔中心至煤层温度为0 ℃位置的距离定义为液氮冷冻一定时间的冷裂增透半径。由图3获得不同液氮冷冻时间的冷裂增透半径，结果如图4所示。
图4 液氮冷冻时间对冷裂半径的影响
Fig.4 Effects of liquid nitrogen cooling time on the cooling radius
从图4可以看出，随着液氮冷冻时间增加，液氮冷裂增透半径增大，但增长速率逐渐减小。当液氮冷冻20 d后，再增加冷冻时间，冷裂增透半径基本不变。本文液氮冷裂7.5 d的冷裂增透半径近似为1.2 m。从液氮冷裂角度，液氮冷冻时间可取8 d。
3 结 论
1)基于渗流力学、水冰相变理论和热力学理论，初步建立了煤层钻孔注水-注液氮冷裂增透数学分析模型，给出了注水时间、液氮冷冻煤温度演化的解析解，分析了山西潞安矿区某煤层注水-注液氮冷裂问题。
2)注水压力8 MPa、储层压力1.1 MPa下，注水8.7 h，润湿半径可达1.2 m。
3)煤层钻孔注水-注液氮冷裂增透时，注水压力不宜超过10 MPa。
4)随着液氮冷冻时间增加，冷裂增透半径增大，但增长速率减小。当液氮冷冻240 h后，再增加冷冻时间，冷裂增透半径基本不变。
5)本文算例中，若冷裂增透1.2 m，需要注水8.7 h，注液氮7.5 d，注液氮时间较长。为缩短注液氮时间，可以采取提高注液氮压力或缩短冷裂增透半径的方法。
6)煤层注水增加煤层含水率，不仅提高液氮冷裂增透效果，还能有助于防治冲击地压和煤与瓦斯突出灾害。
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