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随着我国煤炭资源开采向深部扩展，华北型煤田的大水矿区煤炭资源开发受到基底奥陶系灰岩水害威胁更加严重。地面区域超前治理技术是解决奥灰水害的有效途径，其中水平定向钻探及注浆是实现区域超前治理水害的关键技术[1-2]。近年来，注浆工艺被广泛运用于水害治理工程，并取得良好的治理效果，但注浆理论发展较为滞后，尤其是水平孔注浆浆液扩散规律的研究严重不足，致使此类注浆工程具有一定的经验性和盲目性。因此，关于浆液扩散规律的研究逐渐成为目前关注的热点问题。国内外学者对浆液扩散规律进行了大量的研究，并取得了丰硕的研究成果。EKLUND D[3]、AXELSSON M等[4]通过理论分析研究了渗滤效应对浆液扩散距离的影响。刘泉声等[5]采用三步注浆工艺对深部软岩巷道进行围岩加固，并对注浆浆液扩散机理进行了探讨。黄耀光等[6]基于拟连续介质假设，理论推导了围岩扰动应力和注浆压力耦合作用下的浆液非稳态渗透扩散基本方程，建立了浆液在围岩中渗透扩散计算模型，系统研究了注浆时间、注浆压力等参数对浆液渗透扩散的影响。阮文军[7-8]通过大量试验证明水泥基浆液的黏度存在时变性，从而建立用于岩体裂隙的稳定性浆液注浆扩散模型。文献[9-10]通过理论推导建立了单一裂隙动水注浆扩散模型，并运用数值模拟与内室试验的方法对扩散模型进行了分析与验证。李术才等[11-13]、刘健等[14-15]考虑浆液黏度的时变性，结合理论分析、模型试验和数值计算结果分析了浆液扩散形态及压力场时空分布规律。俞文生等[16]研究倾角对裂隙动水注浆扩散规律的影响机制，并对一定倾角的裂隙动水注浆扩散进行数值模拟。但上述研究大都是垂直孔注浆浆液扩散规律，关于水平孔注浆浆液扩散规律的研究非常缺乏。赵庆彪等[17-19]以邯邢矿区为背景，开展了奥灰裂隙岩体高承压水的水平孔注浆浆液扩散机理研究，建立了水平孔注浆垂向裂隙浆液扩散模型，推导出浆液扩散半径与注浆压力的关系。目前对于水平孔注浆浆液扩散规律的研究，尚未考虑浆液重力及裂隙倾角的影响。因此，针对上述浆液扩散研究中存在的问题，开展裂隙岩体水平孔注浆浆液扩散规律研究，旨在为华北型煤田地面区域超前治理水平孔注浆改造工程提供一定的理论指导。
含水层介质实际上为一巨大的孔裂隙网络空间。在含水层中注浆实质上是浆液驱替地下水的过程，浆液经注浆孔流入含水层，并以孔裂隙为通道进行扩散。水平孔注浆概念模型如图1所示。
图1 水平孔注浆概念模型
Fig.1 Conceptual model of horizontal hole grouting
含水层中有原生的粒间孔隙结构和次生的裂缝、纹理结构，孔裂隙之间的相互贯通最终形成复杂的浆液流通途径。浆液在孔裂隙通道中流动满足Navier-Stokes方程，原则上只要获取了孔裂隙的几何结构信息，就可对通道中的流体流动进行详细的描述。然而，岩体中的孔裂隙通道的几何结构错综复杂，很难对其精确描述。为克服这一困难，构建等效裂隙岩体模型，将岩体的孔裂隙系统等效为开度相同的裂隙，即浆液的扩散通道为等开度的裂隙，图2给出了等效裂隙岩体的构建过程，其中主要包括从原始地层中取出原始裂隙岩体，原始裂隙岩体中含有不规则的孔裂隙，将其简化为等效裂隙岩体，即岩体中具有规则的裂隙[20]。以下主要分析水平孔注浆条件下浆液在等效裂隙岩体中的扩散规律。
图2 等效裂隙岩体构建过程
Fig.2 Construction process of equivalent fissured rock mass
1)浆液运动过程中满足连续性方程。
2)浆液在运动中体积是不可压缩，密度不变。
3)浆液是各向同性的，即各个方向的本构方程相同。
4)浆液在运动中各个瞬时，浆液的剪切速率与剪切应力满足线性关系。
5)浆液静止时，各个方向的正应力相等。
6)浆液固壁边界，满足无滑移边界，即与固壁接触位置速度为0。
水平孔注浆浆液扩散控制方程包括连续性方程和运动方程。浆液连续性方程和运动方程，决定了浆液在注浆压力、注浆时间及岩体特性等因素作用下的扩散规律。水平孔注浆浆液扩散规律的研究需要考虑重力的影响，重力影响浆液扩散的轨迹与范围。根据图2给出的等效裂隙岩体模型，建立水平孔注浆任意倾角等效单裂隙浆液扩散力学模型，如图3所示。
P0—静水压力；h0—中心流核区高度
图3 水平孔注浆浆液扩散力学模型
Fig.3 Mechanical model of grout diffusion in horizontal hole
浆液在裂隙中的扩散，满足连续性方程。在图3中选取流体微元进行受力分析，推导与x方向成任意角度β的等效单裂隙内浆液扩散的运动方程，选取的微元体如图4所示。
v—浆液流动速度
图4 流体微元体受力分析
Fig.4 Stress analysis of fluid micro element
任意流体微元体在x方向上受力平衡方程为：
(1)
式中：τyx为浆液剪切应力；dx为微元体长度；dy为微元体宽度；p为浆液压力；ρ为浆液密度；g为重力加速度；β为重力方向与x轴正向夹角。
浆液扩散的运动方程为
(2)
式中：
为浆液平均流速；b为单裂隙宽度；μ为浆液动力黏度；τ0为浆液屈服剪切应力。
单位时间的浆液注入量q满足质量守恒
(3)
将式(2)代入式(3)可得
(4)
式中：C1为常数。
取某一浆液质点为研究对象，浆液质点扩散至任意位置x所用时间为t，在该段时间内由注浆孔进入被注介质的浆液量与扩散距离x有如下关系：
qt=Ax
(5)
式中：t为任意注浆时间；A为浆液扩散断面面积；x为浆液扩散距离。
在t时刻，浆液扩散距离为xt，此时，x=xt，p=p0，p0为静水压力，将此边界条件代入式(4)并联立式(5)，可得浆液扩散区内的压力时空分布方程为
(6)
令x=x0，得到注浆压力px=p(x0,t)，x0为注浆初始时刻浆液的扩散距离。将x=x0代入式(6)可得注浆压力与注浆时间的关系为
(7)
同理可得注浆压力与浆液扩散距离的关系为
(8)
式(6)—式(8)为考虑重力影响下的水平孔注浆浆液扩散控制方程。
若不考虑重力影响，水平孔注浆浆液扩散控制方程由式(6)—式(8)转化为
(9)
(10)
(11)
为进一步分析水平孔注浆浆液扩散规律，验证理论分析的正确性，以实验室测得的水泥浆液的物理参数为基础，采用COMSOL Multiphysics数值软件对水平孔注浆浆液扩散过程进行数值分析。
采用COMSOL建立水平孔垂直裂隙三维数值计算模型，其中垂直单裂隙的开度为5 mm，长度为4 m，宽度为1 m。水平注浆孔在模型的中心位置处，注浆孔直径为0.05 m，如图5所示。
图5 水平孔垂直裂隙三维数值模型
Fig.5 Three dimensional numerical models of horizontal hole and vertical fracture
模型中的水平注浆孔入口处设置为定流速边界。为便于理解，定义数值模型中y轴的正负方向为横向，其边界为模型的左右边界，z轴的正负方向为竖向，其边界为模型的上下边界。模型的上下边界为定压力边界，裂隙中的水和浆液通过此边界流出，其余边界为无流动边界，满足无滑移边界条件。模型初始时刻垂直裂隙中充满水。计算开始后，水泥浆液以恒定速率通过水平孔注入垂直裂隙，浆液和水在垂直裂隙中流动为两相流[21]。
为直观分析水平孔注浆浆液扩散过程中注浆压力变化特征，布置测点与测线监测注浆压力及扩散形态的变化情况。测点布设在水平注浆孔处，监测注浆压力。因模型对称，且分有无重力影响的2种工况，故布设一条竖向测线从注浆孔沿z轴负向至模型下边界，监测浆液扩散距离。
浆液在孔隙、裂隙通道中流动均满足Navier-Stokes方程，三维条件下流体的运动方程为：
∇)u=∇[-pI+μ(∇u+(∇u)T)]+ρg
(12)
式中：u为流体速度矢量；I为三阶单位矩阵；∇为哈密顿算子。
浆液与地下水交界处会形成浆水混合区。为便于分析浆液扩散过程，采用体积分数法表征浆-水界面的运动特征。两相流界面控制方程为：
∇φ=γ∇
(13)
式中：φ为水平集变量；γ为重新初始化参数；ζIS为控制界面厚度参数。
数值计算中选取实际注浆工程中常用的水灰比(质量比)1∶1的水泥浆液，其密度、黏度等参数通过试验测定。为研究重力对水平孔注浆垂直裂隙浆液扩散规律的影响，分别对不考虑重力和考虑重力的2种工况进行分析。根据模型尺寸及文献参考，选取注浆速率为0.5 m/s，具体参数及工况见表1。
表1 计算参数及工况
Table 1 Calculation parameters and working conditions
工况是否考虑重力注浆速率/(m·s-1)静水压力/Pa压力边界/Pa浆液密度/(kg·m-3)浆液黏度/(Pa∙s)1否0.520 00020 0001 5000.022是0.520 00020 0001 5000.02
数值计算结果中采用体积分数表征水泥浆液在垂直裂隙中的扩散形态。模型中蓝色部分代表地下水，红色部分代表水泥浆液。分别对考虑重力和未考虑重力的2种工况进行了计算分析，每1 s记录一次浆液扩散形态，进一步分析浆液在水平注浆孔垂直裂隙下的扩散规律。未考虑重力影响浆液的扩散形态，如图6所示，考虑重力影响下的浆液的扩散形态，如图7所示。
图6给出了未考虑重力影响下水平孔注浆垂直裂隙的浆液扩散形态。采用体积分数表征浆液扩散形态，纯水泥浆液的区域体积分数为1，纯地下水的区域体积分数为0。从图6可以看出，浆液的扩散形态呈轴对称圆形扩散，注浆开始后，浆液沿着水平孔以恒定流速进入垂直裂隙，随着注浆时间的增加，浆液开始驱替垂直裂隙中的地下水，地下水沿着模型上下定压力边界流出。当注浆时间t=5 s时，浆液扩散至模型左右的无流动边界，因模型左右为无流动边界，此时浆液扩散达到极限。随着注浆时间的进一步增加，浆液会沿着竖向继续扩散，直至完全驱替裂隙中的地下水并充满整个裂隙。
图7给出了考虑重力影响下水平孔注浆垂直裂隙的浆液扩散形态。在重力的影响下，浆液的扩散形态不再呈轴对称圆形扩散。随着注浆时间的增加，浆液优先沿着重力方向进行扩散，注浆6 s左右时，浆液扩散至模型的下边界。因模型下边界为定压力边界，继续增加注浆时间，一部分浆液会沿着下边界流出，另一部分浆液会继续沿着横向扩散，注浆10 s左右时，模型底部的浆液沿横向扩散至左右边界。
此外，由图6和7可知，浆液与水的交界处存在浆水混合区，即图中绿色部分。图6中，注浆初期浆水混合区范围明显，随着浆液的注入，浆水混合区的范围逐渐缩小并稳定，稳定后浆水混合区的宽度基本保持不变，且不同注浆时间下的浆液体积分数分布较为均匀。这表明在未考虑重力的情况下，浆液扩散过程中地下水对浆液的分散与搬运作用较小。在图7中，注浆初期浆水混合区范围明显，随着注浆时间的增加，浆液的体积分数开始出现分布不均匀的现象，在注浆时间为6 s左右时，模型底部浆液的体积分数高于注浆孔附近，在时间为8 s左右时，模型底部与注浆孔附近浆液的体积分数明显高于中间，表明在重力的影响下，浆液扩散过程中地下水对浆液分散与搬运作用较为强烈。
图6 未考虑重力影响的浆液扩散形态
Fig.6 Diffusion form of slurry without considering the influence of gravity
图7 考虑重力影响下的浆液扩散形态
Fig.7 Diffusion form of slurry considering influence of gravity
综上分析，在考虑重力和未考虑重力的2种工况下，水平孔注浆垂直裂隙中浆液扩散形态完全不同，且在重力影响下，地下水对浆液分散与搬运作用更为强烈。因此，在研究水平孔注浆垂直裂隙浆液扩散规律时，应考虑重力这一影响因素。
通过理论分析建立了水平孔注浆浆液扩散模型，给出浆液扩散压力时空分布方程。同时，采用数值法分析了浆液扩散规律。通过分析浆液扩散理论解与数值解，验证理论与数值计算的正确性。
1) 注浆压力与注浆时间对比。数值计算中通过注浆孔处的监测点得到不同时刻的注浆压力，将数值计算中的注浆速率、静水压力、浆液密度及黏度等参数代入式(6)和式(9)中，得到考虑重力和未考虑重力下的水平孔注浆浆液扩散过程中注浆压力与
时间关系曲线，如图8所示。
图8 注浆压力-注浆时间对比曲线
Fig.8 Grouting pressure grouting time comparison curve
由图8可以看出，理论计算与数值计算得到的注浆压力与注浆时间的变化规律基本一致，即随着注浆时间的增加，注浆压力由静水压力开始逐渐增大。未考虑重力工况下，理论计算与数值计算的最大误差为6.0%，考虑重力的工况下，两者计算的最大误差为11.8%。由此说明文中建立的水平孔注浆浆液扩散理论公式能够较好地描述浆液在垂直裂隙中的扩散规律。此外，图8中的理论计算所得的注浆压力略大于数值计算结果，这是因为在理论分析中，我们假设水平孔注浆过程中浆液是完全驱替地下水，未考虑浆水两相流界面处地下水对浆液的分散与搬运作用，而在式(13)中考虑了浆液与地下水交界处形成的浆水混合区，所形成的浆水混合区的黏度必然低于浆液的黏度，进而造成数值计算中浆液扩散的黏滞阻力低于理论分析值，最终导致理论计算所得的注浆压力略大于数值计算结果。同时，从图8a、图8b可以看出，在考虑重力工况下，理论计算与数值计算的误差要高于未考虑重力工况下的误差，分析原因是在重力的影响下，数值计算中地下水对浆液的分散与搬运作用更强烈，这一现象在图6和图7中也可以看出，图7中的浆水混合区更为明显，地下水对浆液分散与搬运作用更为强烈。
2)注浆终压与扩散距离对比。同样地，在数值计算中通过注浆孔处的监测点可以得到不同扩散距离下的注浆终压。将数值计算中的注浆速率、静水压力、浆液密度及黏度等相关参数代入理论分析式(8)和式(11)中，可得到考虑重力和未考虑重力2种工况下的水平孔注浆浆液扩散的注浆终压与扩散距离的关系曲线，如图9所示。
图9给出了注浆终压与扩散距离的关系曲线，可以看出理论计算与数值计算得到的注浆终压与扩散距离的变化趋势基本一致，未考虑重力工况下，理论计算与数值计算的最大误差为5.0%，考虑重力的工况下，两者计算的最大误差为7.2%。同样地，图9中的理论计算所得的注浆终压略大于数值计算结果，主要是因为数值计算中考虑了地下水对浆液的分散与搬运作用。
图9 注浆终压-扩散距离对比曲线
Fig.9 Comparison curve of grouting final pressure diffusion distance
3) 有无重力影响对比分析。图10给出了考虑重力和未考虑重力2种工况下的注浆压力与注浆时间、注浆终压与扩散距离的曲线。从图10a中可以看出，考虑重力影响下的注浆压力与注浆时间的曲线明显低于未考虑重力所得的曲线。这是由于在恒定速率注浆的情况下，考虑重力影响时，浆液的自重与注浆压力一同克服浆液扩散所受的阻力，促使浆液向下扩散，未考虑重力影响时，只有注浆压力克服浆液扩散的阻力。理论计算结果中，考虑重力影响时的注浆压力比未考虑重力时的注浆压力最大降低了49.0%，数值计算结果最大降低了52.1%。考虑重力和未考虑重力的2种工况下，注浆压力随注浆时间的增长幅度有差异。由图10a可看出，考虑重力影响时，注浆初期的注浆压力随注浆时间增长较为缓慢，这是因为在注浆初期，浆液自重克服了大部分的扩散阻力，此时注浆压力所起的作用很小，到注浆后期，浆液扩散所需的阻力逐渐增大，此时注浆压力开始快速增加以克服浆液扩散的阻力。未考虑重力影响时，注浆开始后就需要注浆压力克服浆液扩散的阻力，因此注浆压力随着注浆时间的增加快速增长。
图10 有无重力影响下的计算结果对比
Fig.10 Comparison of calculation results under influence of gravity or not
同样地，由图10b可以知道，考虑重力影响下的注浆终压与扩散距离的曲线明显低于未考虑重力所得的曲线。这是由于考虑重力的影响时，浆液自重与注浆压力一同克服浆液扩散所受的阻力，而未考虑重力影响时，只有注浆压力克服扩散阻力，因此浆液在扩散相同距离时，未考虑重力影响所需的注浆终压要大于考虑重力的情况。理论计算结果中，考虑重力影响时的注浆终压比未考虑重力时的注浆终压最大降低了30.6%，数值计算结果最大降低了32.2%。此外，进一步分析注浆终压与扩散距离的关系，注浆终压首先随扩散距离增加而增大，之后趋于稳定。考虑到扩散距离2 m处存在边界效应，由图10b可以看出，浆液扩散至1.5 m处的注浆终压随扩散距离的变化基本趋于稳定，因此选取1.5 m处的注浆终压进行分析。浆液扩散至1.5 m处，理论计算中未考虑重力时的注浆终压是静水压力(20 kPa)的4.2倍，考虑重力时的注浆终压是静水压力的3.1倍；数值计算中未考虑重力时的注浆终压是静水压力的4.0倍，考虑重力时的注浆终压是静水压力的2.9倍。由此可以看出，在扩散相同距离时，考虑重力时的注浆终压明显小于未考虑重力的情况，重力对注浆终压的大小影响很大。实际现场注浆过程中必然存在重力的影响，因此考虑重力情况下的理论计算与数值计算结果更为符合实际。文中计算得到考虑重力时的注浆终压是静水压力的3倍左右，所得计算结果与实际注浆工程中注浆终压一般选取为静水压力的2～3倍这一经验值较为吻合。
综上所述，重力对水平孔注浆垂直裂隙浆液扩散的影响较大，其主要表现为对浆液扩散形态、扩散距离、注浆压力及注浆终压的影响。因此，在实际工程中采用水平孔注浆时不能忽视重力对浆液扩散的影响。
1) 注浆终压。当含水层中的裂隙以水平或近水平为主时，在注浆的过程中重力对浆液的扩散影响很小；当含水层中的裂隙以竖向为主时，注浆时需要考虑重力的影响。考虑重力和未考虑重力2种工况下的注浆终压大小有一定的差别，未考虑重力时的注浆终压比考虑重力时的注浆终压高30%左右。因此，当含水层中的裂隙以水平或近水平为主时，其注浆终压的设计应适当增大。文中计算得到考虑重力时的注浆终压是静水压力的3倍左右，这与实际注浆工程中注浆终压一般选取为静水压力的2～3倍这一经验值较为吻合，因此在考虑重力影响下，注浆终压应设计为静水压力的3倍左右。
2)注浆方式。水平孔注浆垂直裂隙浆液扩散过程中重力对浆液扩散形态、扩散距离及注浆终压有较大的影响。当含水层中竖向裂隙较多时，在重力的影响下浆液优先沿重力方向扩散，达到一定注浆时间后，浆液扩散至重力方向的远端，此时若继续注浆，在重力和注浆压力的共同作用下可能对岩体造成二次劈裂破坏，形成新的裂隙通道，这样会增加注浆的成本。因此此时应停止注浆，待浆液凝固后再继续注浆，浆液会在注浆压力的作用下沿重力反方向扩散，直至充填整个裂隙，进而完成注浆。在水平孔注浆工程中遇到竖向裂隙时应采用间歇式注浆，以保证注浆的效果，避免浆液的无效扩散。
3)扩散距离。现有浆液扩散规律的研究中大部分是垂直孔水平裂隙，该工况下浆液所受重力方向垂直于裂隙，因此重力不会对浆液扩散过程产生显著影响。但实际工程中含水层大部分裂隙具有一定的倾角，尤其是水平孔注浆时具有一定倾角的裂隙中浆液的扩散形态及扩散距离受重力影响很大，此时浆液的扩散形态不再呈轴对称圆形扩散，不同方向上浆液的扩散距离差别较大。因此，注浆工程中注浆孔间距的设计中应充分考虑重力这一影响因素。设沿垂直方向布设水平注浆分支孔的间距为a，沿水平方向布设注浆分支孔的间距为b，如图11所示。当水平分支注浆孔沿垂直方向布设时，在重力影响下浆液沿垂直方向的扩散距离相对较大，因此可适当增大分支孔间距，这样可减少分支孔布设数量，在一定程度上减小钻探工程量，降低施工成本。当水平分支注浆孔沿水平方向布设时，重力对水平方向浆液扩散距离的影响很小。因此，水平方向布设的分支注浆孔的间距b应小于沿垂直方向布设的分支孔间距a。综上分析，在实际的水平孔注浆工程中，由于存在重力的影响，在注浆分支孔间距的布设中可遵循b<a这一条件，这样能够减少水平注浆分支孔布设数量，降低施工成本。
图11 水平注浆分支孔间距布设示意
Fig.11 Layout of horizontal grouting branch hole spacing
1)通过构建等效裂隙岩体模型，将含水层岩体中的孔裂隙等效为开度相同的裂隙，进一步建立了水平孔注浆任意倾角等效单裂隙浆液扩散力学模型。选取流体微元进行受力分析，推导了任意倾角的等效单裂隙在考虑浆液自重和未考虑浆液自重时的浆液扩散区内压力时空分布方程，得到了注浆压力与注浆时间及浆液扩散距离的理论关系式。
2)采用COMSOL建立水平孔注浆垂直裂隙三维数值计算模型，分别对考虑重力和未考虑重力的2种工况进行了计算分析，未考虑重力时的浆液的扩散形态呈轴对称圆形扩散，考虑重力时的浆液扩散形态不再是呈轴对称圆形扩散，而是优先沿着重力的方向进行扩散。在重力的影响下，浆液扩散过程中地下水对浆液分散与搬运作用更为强烈。
3)对比理论分析与数值计算结果显示：两者所得注浆压力随注浆时间、注浆终压随扩散距离的变化趋势基本一致，理论计算与数值计算结果误差控制在10%左右，表明文中建立的水平孔注浆浆液扩散理论公式能够较好地描述浆液扩散过程。重力对水平孔注浆浆液扩散形态、扩散距离及注浆终压影响较大，水平孔注浆实际工程中不能忽视重力对浆液扩散的影响。研究成果可为水平孔注浆工程中注浆终压、注浆方式及扩散距离的设计提供依据。
理论分析部分建立了水平孔注浆任意倾角等效单裂隙浆液扩散力学模型，但在数值分析部分仅计算了水平孔注浆垂直等效单裂隙这一种工况，针对水平孔注浆任意倾角等效单裂隙的数值计算需做进一步研究，探究裂隙倾角对水平孔注浆浆液扩散规律的具体影响。同时，今后的研究中需要考虑建立更符合实际地下含水层裂隙分布的浆液扩散模型，深入研究动水条件下水平孔注浆浆液扩散规律。
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