Evolution law of true triaxial unloading mechanical properties of sandstone after high temperature
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摘要:
煤炭地下气化、地热能开采过程中的高温环境及应力场的变化对岩石的力学性质及强度特征均会产生影响，对高温处理后的岩石在不同三轴应力作用下的强度和力学性质变化的研究，在地下工程实际应用中有着非常重要的作用。基于真三轴应力下煤岩水力润湿范围动态监测试验系统，开展不同温度不同三轴应力条件下砂岩的加卸载试验，分析高温后砂岩的变形特征、强度特征及能量变化规律，研究温度及三轴应力对砂岩宏观强度的影响。结果表明：砂岩的破坏以脆性破坏为主，不同温度砂岩的破坏面均沿着垂直最小主应力的方向形成，破裂角随温度的升高而增大，且趋近于垂直；砂岩的承载能力随温度的升高呈现先增强后减弱的趋势，600 ℃时，承载能力达到最大，1 000 ℃时最小；温度对砂岩的弹性模量、变形模量等变形参数的影响较为明显，三轴应力对变形参数影响相对较小；砂岩变形参数与温度大致呈负相关趋势，砂岩变形参数与三轴应力大致呈正相关趋势；1 000 ℃时，砂岩的弹性模量、变形模量和峰值强度均最小，极限应变最大；砂岩加卸载过程中能量密度变化趋势与峰值强度大致相同，其中弹性能占输入能比例较高对砂岩破坏影响较大；结合砂岩的矿物成分、孔裂隙结构及孔隙率的变化情况，发现砂岩的宏观强度变化与微观的结构变化表现一致。
Abstract:In the process of underground coal gasification and geothermal energy mining, the change of high temperature environment and stress field will affect the mechanical properties and strength characteristics of rocks, and the study of the change of the strength and mechanical properties of the rocks after high-temperature treatment under the action of different triaxial stresses has a very important role in the practical application of underground engineering. Based on the dynamic monitoring test system of hydraulic wetting range of coal rock under true triaxial stress, the loading and unloading tests of sandstone under different temperatures and different triaxial stress conditions were carried out. The deformation characteristics, strength characteristics and energy variation law of sandstone after high temperature were analyzed, and the effects of temperature and triaxial stress on the macroscopic strength of sandstone were studied. The failure of sandstone is dominated by brittle failure. The failure surfaces of sandstone at different temperatures are formed along the direction perpendicular to the minimum principal stress. The fracture angle increases with the increase of temperature and tends to be vertical. The bearing capacity of sandstone increases first and then decreases with the increase of temperature. The bearing capacity reaches its maximum at 600 ℃ and its minimum at 1 000 ℃. The influence of temperature on the elastic modulus, deformation modulus and other deformation parameters of sandstone is obvious, and the influence of triaxial stress on the deformation parameters is relatively small. The deformation parameters of sandstone are negatively correlated with temperature, and the deformation parameters of sandstone are positively correlated with triaxial stress. At 1 000 ℃, the elastic modulus, deformation modulus and peak strength of sandstone are the smallest, and the ultimate strain is the largest. During the loading and unloading process of sandstone, the change of energy density is roughly the same as that of peak strength, and the higher proportion of elastic energy to input energy has a greater impact on sandstone failure. Combined with the changes of mineral composition, pore fissure structure and porosity of sandstone, it is found that the macroscopic strength change of sandstone is consistent with the microscopic structure change.
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Keywords:
- sandstone /
- thermal damage /
- true triaxial /
- deformation characteristics /
- strength deterioration
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0. 引 言
煤炭的地下气化、地热资源及深部煤炭资源的开发等都会涉及到岩石高温作用后力学性质的变化问题[1]。岩石的物理力学特性、强度特征及微观结构会受到高温作用的影响，其变化会影响地下工程的长期稳定。与其他开采方式相比，煤炭地下气化技术的特点是气化炉的高温[2-5]。在气化过程中燃空区的形成会带来结构应力，使得围岩应力场重新分布，具体表现为切向主要为加载，径向局部为卸载，且切向载荷峰值与法向的载荷有关[6-8]。高温环境及应力场的变化对岩石的力学性质及强度特征均会产生影响，因此，对高温处理后的岩石在不同三轴应力作用下的强度和力学性质变化的研究，对高温作用下围岩的安全性和稳定性问题，提供重要的理论支撑。
国内外许多专家学者对于上述问题进行了高温热处理后的岩石单轴及常规三轴压缩试验，研究岩石的三轴应力及高温损伤力学的特性变化。许锡昌等[9-11]通过对高温（20～800 ℃）作用下花岗岩进行单轴压缩试验，研究了花岗岩的力学特性；万志军等[12]通过花岗岩高温（50～600 ℃）后常规三轴压缩试验，分析花岗岩的变形、破坏特征及力学参数变化规律；蔡燕燕等[13]研究了25～900 ℃作用后的花岗岩在常规三轴卸荷载条件下的破坏特征、变形参数的规律；刘婕等[14]通过真三轴加卸载试验，研究花岗岩的破坏特征、特征应力和能量变化情况；杨计先等[15]通过三轴循环加卸载试验，分析了花岗岩的力学特性及能量损伤演化规律；YANG 等[16]对25～900 ℃热处理后的花岗岩进行动态压缩试验，研究了动态压缩过程中的裂纹的扩展规律及力学特性变化特征；MA 等[17-18]研究了高温和三轴应力下中间主应力及水平应力对花岗岩的力学性质的影响，花岗岩的起裂应力受中间主应力和温度的共同作用；张晓悟等[19]进行了岩石三轴循环加卸载试验，分析了不同温度（20～800 ℃）和围压对岩石力学参数的影响，建立了评价岩石破坏与损伤的指标。
尹光志等[20]对砂岩进行常规三轴压缩和真三轴应力加载试验，研究了砂岩宏观力学特性与温度的关系，以及应力、应变、体积应变与卸荷速率的关系；苏承东等[21]通过对400～1 000 ℃热处理的粗砂岩进行常规三轴压缩试验，研究了粗砂岩的变形、强度与破坏特征与温度、围压的关系，结果表明，400 ℃以上砂岩的弹性模量、变形模量和极限应变随围压增加单调增加呈正相关性；李建林等[22]对三轴加卸载中砂岩的波速变化进行研究，随着温度的升高，砂岩的纵波波速降低，纵、横波波速整体随围压增大呈幂函数关系增大；张培森等[23-27]基于Rock Top多场耦合试验仪，开展了不同温度三轴压缩、不同围压、循环荷载、峰后循环荷载等试验，研究了红砂岩的力学性质、损伤程度、渗流特性和能量演化的变化规律；DING等[28]通过单轴压缩试验和水渗试验，研究了砂岩的渗透率和力学特性受温度影响的规律，结果表明，400 ℃是砂岩渗透率变化的转折点；SUN等[29]研究了25～800 ℃处理后砂岩的热性能，提出砂岩热参数随温度的变化分为4个阶段；刘之喜等[30-31]研究了单轴及真三轴压缩下的砂岩的能量演化规律，分析了三向应力加、卸载对砂岩的影响；许文松等[32]进行了不同主应力方向的岩体加卸载试验，分析了不同主应力加卸载岩体次生各向异性对岩体的影响。
上述学者对高温后花岗岩和砂岩进行了一系列研究和探讨，主要是高温常规三轴压缩试验及常温真三轴加卸载试验，针对真三轴及高温共同作用下对岩石力学性质的影响研究较少。地下工程围岩的内部多处于三向应力状态。由于地质构造作用，地层中岩石常处于三向不等压状态（σ1>σ2>σ3）。常规岩石力学试验（σ1>σ2=σ3）无法研究真实应力状态下的岩石力学特性[21]。通过三向不等压的真三轴加卸载试验模拟煤炭地下气化过程中的围岩应力变化路径，用于反映工程实际情况，结果更具参考性。鉴于此，笔者对不同温度加热后的砂岩进行真三轴加卸载试验，分析高温后砂岩真三轴加卸载的变形参数、破坏特征和能量损失等与围压、温度的相关规律。
1. 试 验
1.1 试件准备
试验所用岩样为砂岩，取自四川省自贡市，自然状态下呈现青灰色，细粒，孔隙型胶结，其主要矿物组成为石英、长石、伊利石、绿泥石等。砂岩岩样的密度为2 448～2 487 kg/m3，平均值为2 469 kg/m3，离散系数0.46%；纵波波速为2 273～2 696 m/s，平均值为2 510 m/s，离散系数为3.07%，可见砂岩试件宏观上较为均匀。由于砂岩试件个体的差异导致试验结果具有离散性，试验所用的岩样均取自同一块完整岩块。首先，将岩块切割成尺寸为101～103 mm的长方体试件，然后采用湿式加工法将试件打磨成100 mm×100 mm×100 mm的立方体试件，根据国际岩石力学学会（ISMR）的加工精度标准要求[33]，保证试件的端面平整度，垂直度以及平行度，并将两端面的平行度控制在0.02 mm以内。
1.2 试验准备及试验方案
1.2.1 试件热处理设备及流程
试件加热设备采用BMF1200-5S型高温箱式马弗炉，如图1所示，该炉膛尺寸为300 mm×200 mm×120 mm，可以自动控温、升温，采用电阻丝加热，最高温度可达1 200 ℃。对加工好的试件进行高温处理，热处理的温度分别为200、400、600、800、1 000 ℃，以及25 ℃，每组3个试件，共计6组。以10 ℃/min升温速率加热至目标温度后，为了保证试件中心温度与表面相差最小，保持恒温10 h，使试件充分受热，后自然冷却至室温，制成经历不同温度加热后的砂岩试件。
图2是砂岩试件不同温度热处理后的表观形态，可见常温状态下砂岩为青灰色，200 ℃温度处理后，砂岩表面颜色没有明显变化，经历400～800 ℃高温加热后由青灰色向红褐色变化，温度越高红色越深，800 ℃时可见试件表面出现明显裂纹，1 000 ℃处理后颜色变浅，逐渐变成黄褐色。
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图 2 不同温度加热后砂岩形态Figure 2. Morphology of sandstone after heating at different temperatures1.2.2 试验方法
高温后试件采用自主研发的真三轴应力下煤岩水力润湿范围动态监测试验系统，如图3所示，进行真三轴应力加卸载试验。真三轴加载系统和流体控制系统由真三轴操作软件同步控制，实现伺服增压和联动加载，可记录载荷、位移、温度和时间等一系列参数[34]。试验系统的子系统可以独立控制，不同方向可用不同的位移、应力等加卸载速率进行加卸载试验，用于模拟真实砂岩在地下工程中不同加卸载应力路径变化。
为研究高温损伤后的试件在加卸荷载应力路径下的力学性质，根据鲁西地区某煤矿地下气化工程的工程实际情况开展真三轴应力加卸载试验，应力随时间加载路径如图4所示，岩样应力预加载值见表1。预加载试验中，分别将3个方向的主应力加载至σxi、σyi、σzi的值，加载速率均为1 kN/s；加卸载试验中，在最大主应力方向（y）以3 kN/s速率加荷载，在最小主应力方向（x）以1.2 kN/s速率卸荷载，保持z方向应力不变，直至砂岩试件破坏。
表 1 试验岩样三轴主应力的预加载值Table 1. Preloading values of triaxial principal stresses in test rock samples温度/℃ σxi/MPa σyi/MPa σzi/MPa 25/200/400/
600/800/1 0004.4 7.8 5.2 6.0 11.0 8.8 7.7 14.2 12.4 2. 试验结果分析
2.1 破坏特征
岩石在高温作用下，会表现出脆性破坏–半脆性破坏–延性破坏的特征。在不同的温度下，砂岩破坏形态总体呈现为碎片化，存在明显的脆性破坏特征，如图5所示，砂岩并未观测到脆性破坏转变为延性破坏的趋势。不同温度砂岩试件在不同三轴应力下均发生了脆性破坏，应力下降至稳定均在极短的时间内完成，试件破坏时可以听见设备腔室内传出破裂声。三轴加载试验时破坏类型大多数呈现典型的剪切破坏，破裂面平整光滑，边缘破碎程度较低。宏观主破裂面的两侧局部伴生有剪切破裂面，同时部分剪切面存在与加载方向垂直的水平裂纹，由于破裂时破坏面之间出现水平滑移产生水平力出现水平裂纹。
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图 5 砂岩试件加卸载破坏形态Figure 5. Damage pattern of sandstone specimen with loading and unloading不同温度最大预加载应力（7.7/14.2/12.4 MPa）条件作用下同一试件不同应力方向（σx、σy、σz）不同侧面真三轴加载的破坏形态及裂纹发展情况，如图6所示。岩石是否发生破坏主要是其内部抗剪切能力决定的。在真三轴加卸载试验中，加载阶段，因中间主应力的存在，砂岩受到中间主应力的约束，在一定程度上会增加砂岩的延性，内部剪切应力的承受能力增强；在卸载阶段，受到泊松效应[35]影响，最小主应力方向更易发生膨胀，萌生张拉裂隙，导致岩石更容易发生局部破坏不同温度、不同三轴应力下砂岩的破裂面均与最小主应力加载方向垂直，但裂纹的发育程度与砂岩的破坏情况存在差异，破坏角指的是剪切破裂面法向与最大主应力方向之间的夹角[36]，破裂面破坏角的形式如图7所示。不同温度砂岩的破坏角见表2，破坏角在53.1°～83.4°。由此，可看出随温度的升高，砂岩的破坏角逐渐增大，破坏角趋近于垂直。由图6可以看出，高温阶段砂岩破坏面的贯穿裂纹少于相对低温阶段，这说明高温作用下，弱化了砂岩的非均质性，砂岩破坏时裂纹的发育情况有所改善。
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图 6 高温后试件真三轴加载的破坏形态Figure 6. Damage morphology of specimens loaded in true triaxial loading after high temperature表 2 不同温度砂岩破坏角范围Table 2. Range of damage angles for sandstones with different temperatures温度/℃ 25 200 400 600 800 1 000 θ/(°) 53.1～62.1 70～75 71.1～77 74.7～78.1 75.2～82.8 77.2～83.4 观察砂岩破坏后断面的颜色，600 ℃以内砂岩的颜色随温度升高，颜色逐渐加深由灰绿色变为暗红色，超过600 ℃时，逐渐变浅，变为土黄色，砂岩颜色变化的主要转折点在400 ℃。砂岩的主要成分为石英、长石矿物、黏土矿物等，主要矿物组成与烧制陶瓷的原材料相似。陶瓷烧制过程主要是通过高温作用下的烧结反应提高陶瓷的力学性能，陶瓷的烧结温度为原材料熔融温度的50%～80%，可知砂岩中长石矿物的熔融温度为1 100～1 550 ℃，且烧结反应的温度会受到材料中的成分影响，当混入氧化铝、氧化铁等成分时，温度会有所降低。根据烧结反应的温度变化可知砂岩强度变化和烧结反应的温度区间相近，砂岩内含铁矿物在此温度发生以下化学反应：
2Fe2+→2Fe3++2e−（350～450 ℃）
砂岩宏观颜色变化也是含铁矿物发生化学反应导致的，砂岩颜色逐渐由灰绿色向红棕色过渡。含Fe3+的矿物可起到胶结作用，增加不同矿物晶体之间的接触面积，提高砂岩的承载能力。当温度超过600 ℃时，矿物结构发生破坏，矿物中的结晶水逸出，砂岩微观上矿物失水收缩导致颗粒间的联结作用变弱或消失，从而产生裂缝，致使砂岩的承载能力弱化。
由表3可知，25～400 ℃砂岩中孔隙率随温度的升高呈现先增大后减小的趋势，当温度高于400 ℃时，砂岩的孔隙率随温度的升高而增大。这与砂岩强度发生转变的转折温度一致。根据笔者前期对不同温度作用下砂岩微观结构及矿物成分对温度变化规律的研究[37]，发现600 ℃为砂岩内部矿物成分衍射强度变化及热诱导微裂纹明显增加的转折温度；结合不同温度不同应力砂岩真三轴加卸载试验结果分析，可以看出温度影响下砂岩的宏观强度变化与微观的结构变化一致。
表 3 不同温度处理后砂岩的不同孔隙率Table 3. Different porosities of sandstone after different temperature treatments温度/℃ 25 200 400 600 800 1 000 孔隙率/% 10.28 15.16 13.58 14.5 15.28 16.73 平均面孔隙率/% 10.01 16.09 14.16 15.27 16.27 17.95 2.2 强度特征
25 ℃和经历不同温度热处理后的试件真三轴加卸载试验最大主应力应力–应变曲线如图8所示。从图8中可知在真三轴加载过程中砂岩存在明显压密阶段、弹性阶段以及塑性阶段。砂岩的压密阶段主要为加载至应力设定值阶段，砂岩的应力–应变曲线凸向应变轴，原因是砂岩内部原始孔裂隙在3个方向同时加载作用下发生闭合，且温度越高压密阶段越长。砂岩的弹性阶段，加载至预定荷载后继续增大最大主应力，砂岩最大主应力应力–应变曲线呈近似线性变化，应力应变呈现正比例关系，表现出砂岩的弹性特征。随着最大主应力进一步的增加，砂岩的应力–应变曲线逐渐由弹性阶段的近似线性变化变为非线性变化趋势，表现出砂岩的塑性特征为砂岩的塑性阶段。砂岩经历塑性阶段后，持续加载最大主应力至超出砂岩的峰值强度后进入破坏阶段，表现为砂岩内部出现贯通裂隙形成宏观破裂，试件整体失去承载能力。达到承载极限。
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图 8 高温后真三轴加卸载最大主应力方向试件应力–应变曲线Figure 8. Stress-strain curve of specimen in the direction of the maximum principal stress of true triaxial loading and unloading after high temperature图8给出了砂岩试件经历200、400、600、800、1 000 ℃热处理后的最大主应力试件的应力–应变曲线，可以看出不同温度砂岩试件的应力−应变曲线随应力增加的变化规律基本一致。温度对于砂岩的承载能力有明显影响，在25 ℃时，不同三轴应力条件下的强度分别为112.35、113.95、117.71 MPa；在600 ℃的高温处理后，砂岩试件的强度分别为126.54、134.48、134.13 MPa，峰值强度的平均增幅为14.86%，砂岩试件的承载能力达到最大。随温度升高砂岩的应变逐渐增大，受温度影响内部孔裂隙及微裂纹发育、贯通，压密阶段逐渐变长，砂岩的起裂应力逐渐变小，内部损伤情况逐渐复杂。
原因是温度低于600 ℃时，砂岩内部矿物随温度的升高发生热熔变形，砂岩部分原始孔裂隙闭合，孔裂隙的数量逐渐减少，内部矿物颗粒之间的接触面增大，增加了颗粒内或颗粒间的摩擦力，砂岩强度发生强化。当温度高于600 ℃时，可见砂岩应力–应变曲线中压密阶段有明显变化，压密阶段明显长于相对低温阶段，极限应变随温度升高而增大，表现为砂岩的承载能力劣化。原因是砂岩内部矿物颗粒之间的热膨胀率存在差异，导致不同颗粒边界的膨胀情况不同，产生结构热应力，进而出现应力差导致微裂纹的产生，而且随温度的升高，矿物颗粒的膨胀差异也进一步增大，颗粒之间、颗粒内部的应力也随之增大，使得砂岩内部孔裂隙进一步发展、连通，砂岩强度发生劣化。
2.3 变形特征
高温作用后试件受热熔、热裂和热分解效应的影响，内部裂隙增大，胶结物刚度降低，岩样变形也将相应增大。温度的升高致使砂岩内部的水分析出，温度越高逸出的水分越多，热处理后的试件体积出现不同程度的膨胀，质量出现不同程度的减少，试件体积和质量变化的具体情况如图9所示。随着温度的升高试件的体积不断膨胀、质量不断减少，温度越高体积的变化率越大，1 000 ℃的试件膨胀率最大。
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图 9 不同温度试件加热前后体积及质量变化Figure 9. Changes in volume and mass of specimens before and after heating at different temperatures依据规程，变形特征参数可用变形模量E50和弹性模量ET表征。变形模量E50取轴向应力–应变曲线上50%峰值强度点与原点连线的斜率，与压密阶段有关，受非线性变形的影响，数据较为离散，只能描述岩石应力在峰值强度50%以下的变形特征，对于岩石整体的变形特征表述并不准确；弹性模量ET取轴向应力–应变曲线上接近线性变化段即弹性阶段的斜率，可表征应力、应变的变化量之间的比例关系，数据比较准确，具有明确的力学含义；极限应变εc取峰值强度对应的应变值[38-39]。弹性模量是决定试件轴向弹性变形的最关键的力学参数[40]。根据以上内容，分析砂岩试件在真三轴加卸载试验条件下，弹性模量、变形模量、峰值强度等变形参数与温度及三轴应力的关系，如图10、图11所示。
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图 10 不同温度作用下砂岩的变形参数随三轴应力变化的曲线Figure 10. Curves of deformation parameters as a function of triaxial stress in sandstones subjected to different temperatures![]()
图 11 不同三轴应力作用下砂岩的变形参数随温度变化的曲线Figure 11. Curves of deformation parameters of sandstone with temperature under different triaxial stress由图10可以看出，不同温度作用后的砂岩试件通过真三轴加卸载试验得到的弹性模量、变形模量、峰值强度和极限应变等变形参数受温度、三轴应力的影响较为明显。在不同的三轴应力作用下，同一温度的砂岩试件弹性模量随应力增加的变化趋势大致上是正相关的。随着应力的增大，25 ℃、1 000 ℃的砂岩试件变形模量呈现先增大后减小的趋势，其他温度试件则是先减小后增大。砂岩的峰值强度、峰值应变大致的变化趋势与应力变化呈正相关。真三轴加卸载过程中，3个主应力综合作用表现为广义剪切应力作用，主应变的变化是裂隙扩展和砂岩内部颗粒变形、扭转的综合作用。砂岩整体的变形破坏特征是内部矿物颗粒变化、广义剪切应力和裂隙发育程度等共同决定的。
不同温度试件弹性模量、变形模量、峰值强度和极限应变的变化情况与温度的关系，如图11所示。不同三轴应力的砂岩试件随温度的变化试验结果有一定的离散性，但整体上砂岩试件的变形参数随温度的变化仍具有一定的规律：试件的弹性模量和变形模量整体上随温度的升高单调降低，而极限应变则随温度的升高单调增加，峰值强度随温度的升高呈现先降低再增加最后降低的趋势。经历800和1 000 ℃高温处理后，砂岩试件的弹性模量平均降幅为9.44%和29.24%；变形模量平均降幅为31.84%和59.44%；峰值应变平均增幅为20.24%和34.15%。
通过以上试验结果可以看出，温度对砂岩变形参数的影响较为明显，三轴应力对砂岩变形参数的影响较小，整体上砂岩的变形参数与温度大致呈现负相关趋势，与三轴应力大致呈现正相关趋势。原因是砂岩是由不同的矿物成分组成，不同矿物晶体受热处理后的膨胀情况不同，晶体的变形特征也存在一定的差异。砂岩中部分矿物结构在高温作用下因膨胀受到挤压或拉伸而产生热应力，当热应力达到或超出砂岩不同矿物的峰值强度，在不同矿物晶体的接触面会产生微裂纹。砂岩内部的有机成分受热迅速膨胀析出也会导致并加剧微裂隙的产生和扩展。同时砂岩内部的矿物成分在高温作用下发生熔融、烧结等反应可能会形成新的胶结物，使得砂岩矿物之间的胶结作用降低从而影响砂岩的变形，以上情况综合导致砂岩的强度降低、承载能力减弱、抗变形能力降低。温度的升高还会导致砂岩内部矿物颗粒之间的应力增大，从而产生更多的微裂纹或使原始孔裂隙进一步发展、贯通，内部裂隙网络发育，宏观表现为砂岩的强度劣化。
3. 讨 论
岩石在加卸载过程中的破坏受能量变化的影响，主要是能量输入、耗散、释放之间的差异。在试验过程中不考虑与外界环境交换的能量，在加载时，外力所作的功分别部分以弹性能在岩石内部积聚，或以塑性变形能、岩石损伤能的形式耗散；当岩石内部所积聚的弹性能达到储能极限时，岩石会发生破坏并向外部释放能量。研究真三轴加卸载过程中砂岩内部的能量变化规律，从能量损失情况分析砂岩的力学特征和强度特征的变化规律，有利于进一步研究岩石的损伤演化规律。本文的能量研究基于试验系统为封闭系统，试验过程中系统与外界无能量交换。通过外力做功产生的能量为输入能，输入能继而可以转化为试验损失的耗散能和岩石内部存储的弹性能。
根据热力学定律[41]：
$$ u = {u^{\text{d}}} + {u^{\text{e}}} $$ (1) 式中：u为输入能密度；ud为耗散能密度；ue为弹性能密度。
真三轴加载过程中砂岩的输入能量密度计算公式表示为
$$ u_1^{\text{e}} = \int\limits_{\text{0}}^{{\varepsilon _1}} {{\sigma _1}{\text{d}}{\varepsilon _1}} + \int\limits_{\text{0}}^{{\varepsilon _2}} {{\sigma _2}{\text{d}}{\varepsilon _2}} + \int\limits_{\text{0}}^{{\varepsilon _3}} {{\sigma _3}{\text{d}}{\varepsilon _3}} $$ (2) 式中：σ1、σ2、σ3分别为最大、中间、最小主应力；ε1、ε2、ε3分别为最大、中间、最小主应力方向产生的应变。
图12为3个方向主应力达到加载设定值时的不同主应力应力–应变曲线。真三轴加载试验阶段的总输入能量密度由式（2）求得，图中表现为3个方向应力–应变曲线与应变轴围成的图形面积之和。
在加卸载阶段试验中，3个方向主应力设定为：最大主应力方向持续加载至破坏，最小主应力逐渐卸载至0，中间主应力保持不变。加载最大主应力时最大主应力方向能量持续积聚，卸载最小主应力时最小主应力方向能量逐渐释放，中间主应力保持不变时，随着最大主应力增大、最小主应力减小，出现应变增加现象，如图13所示。
达到加载设定值后，最大主应力方向持续加载产生的输入能量密度计算公式表示为
$$ u_{\text{2}}^{\text{e}} = \int\limits_{{\varepsilon _1}}^{{\varepsilon _{12}}} {{\sigma _1}{\text{d}}{\varepsilon _1} + {\sigma _2}\left( {{\varepsilon _{21}} - {\varepsilon _2}} \right) + {\sigma _3}\left( {{\varepsilon _{31}} - {\varepsilon _3}} \right)} $$ (3) 式中：ε12、ε21、ε31为加载至设定值后，最大主应力继续增加时，最大、中间、最小方向产生的应变。
达到加载设定值后，卸载最小主应力释放弹性能密度计算公式表示为
$$ u_{\text{3}}^{\text{e}} = \int\limits_{{\varepsilon _{32}}}^{{\varepsilon _{33}}} {{\sigma _3}{\text{d}}{\varepsilon _3}} $$ (4) 式中：ε32为最小应力达到预设值时最小应力方向应变；ε33为最小主应力卸载后最小主应力方向应变。
砂岩在真三轴加卸载试验中总输入能密度为
$$ u = u_{\text{1}}^{\text{e}} + u_{\text{2}}^{\text{e}} $$ (5) 真三轴加卸载下耗散能密度为
$$ {u^{\text{d}}} = u - u_{\text{3}}^{\text{e}} $$ (6) 为定量分析砂岩在真三轴加卸载过程中能量的变化规律。通过以上公式及砂岩应力–应变曲线，通过图形积分得到真三轴加卸载试验各阶段砂岩具体的能量数值，由此可得，砂岩真三轴加卸载下能量密度随温度变化情况如图14所示。
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图 14 砂岩真三轴加卸载能量密度–温度曲线Figure 14. True triaxial loading and unloading energy density-temperature curves for sandstone不同温度砂岩试件能量变化曲线与砂岩峰值强度随温度变化情况大致相同，由图14可知，弹性能曲线与输入能曲线很接近，耗散能曲线与输入能曲线偏离程度较高，可见真三轴加卸载过程中，弹性能占输入能的比例较高。在砂岩达到承载极限前能量主要表现为积聚状态，主要是积聚砂岩弹性变形的能量，一定程度上也可以反映砂岩抗变形的能力，与砂岩的峰值强度存在联系，弹性能随温度变化趋势为先减小后增大再减小的趋势。耗散能主要是因砂岩内部的孔裂隙或热诱导微裂纹在应力作用下扩展、贯通逐渐形成宏观破裂面而耗散的[42]，可以在一定程度上反映砂岩内部的积累的损伤破裂情况。当温度处于200～1 000 ℃时，砂岩的耗散能随着温度的升高而增大，间接反映了随温度升高砂岩内部的损伤破裂情况逐渐接近破坏，温度对砂岩的强度影响比较显著。地下工程中岩石在地应力的影响下内部储存大量的弹性能，在开挖过程中岩石卸荷载时大量弹性能释放，岩体易产生动力破坏，因此真三轴加卸载下岩石的力学特征、强度特征和能量演化规律研究对于深部地下工程开采过程中围岩的稳定性问题具有积极意义。
4. 结 论
1）不同温度、不同三轴应力下砂岩主要以脆性破坏为主，裂纹的发育程度与砂岩的破坏情况存在差异，随温度的升高，砂岩的破坏角逐渐增大，破坏角趋近于垂直。
2）温度对于砂岩的承载能力影响显著，在25 ℃时，不同三轴应力条件下的强度分别为112.35、113.95、117.71 MPa；600 ℃的高温作用后，砂岩试件的强度分别为126.54、134.48、134.13 MPa，峰值强度的平均增幅为14.86%，砂岩试件的承载能力达到最大。
3）不同温度砂岩的弹性模量和变形模量随温度升高单调降低，而峰值应变随温度升高单调增加，峰值强度随温度升高呈现先降低后增加再减低的趋势。
4）温度对砂岩变形参数的影响较为明显，三轴应力对砂岩变形参数影响相对较小，砂岩变形参数与温度大致呈现负相关趋势，与三轴应力大致呈现正相关趋势。
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图 2 不同温度加热后砂岩形态
Figure 2. Morphology of sandstone after heating at different temperatures
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图 5 砂岩试件加卸载破坏形态
Figure 5. Damage pattern of sandstone specimen with loading and unloading
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图 6 高温后试件真三轴加载的破坏形态
Figure 6. Damage morphology of specimens loaded in true triaxial loading after high temperature
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图 8 高温后真三轴加卸载最大主应力方向试件应力–应变曲线
Figure 8. Stress-strain curve of specimen in the direction of the maximum principal stress of true triaxial loading and unloading after high temperature
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图 9 不同温度试件加热前后体积及质量变化
Figure 9. Changes in volume and mass of specimens before and after heating at different temperatures
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图 10 不同温度作用下砂岩的变形参数随三轴应力变化的曲线
Figure 10. Curves of deformation parameters as a function of triaxial stress in sandstones subjected to different temperatures
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图 11 不同三轴应力作用下砂岩的变形参数随温度变化的曲线
Figure 11. Curves of deformation parameters of sandstone with temperature under different triaxial stress
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图 14 砂岩真三轴加卸载能量密度–温度曲线
Figure 14. True triaxial loading and unloading energy density-temperature curves for sandstone
表 1 试验岩样三轴主应力的预加载值
Table 1 Preloading values of triaxial principal stresses in test rock samples
温度/℃ σxi/MPa σyi/MPa σzi/MPa 25/200/400/
600/800/1 0004.4 7.8 5.2 6.0 11.0 8.8 7.7 14.2 12.4 
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表 2 不同温度砂岩破坏角范围
Table 2 Range of damage angles for sandstones with different temperatures
温度/℃ 25 200 400 600 800 1 000 θ/(°) 53.1～62.1 70～75 71.1～77 74.7～78.1 75.2～82.8 77.2～83.4
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表 3 不同温度处理后砂岩的不同孔隙率
Table 3 Different porosities of sandstone after different temperature treatments
温度/℃ 25 200 400 600 800 1 000 孔隙率/% 10.28 15.16 13.58 14.5 15.28 16.73 平均面孔隙率/% 10.01 16.09 14.16 15.27 16.27 17.95
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