Optimal selection of time functions for describing coal mining-induced dynamic subsidence at single surface point using AIC criterion
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摘要:
时间函数法是最常用的煤矿区地表动态形变预测方法之一。其中，描述地表单点“S”型沉降过程的数学模型选取直接影响时间函数法的形变预测精度和可靠性。现有研究大都以拟合残差最小化为目标，通过修正或引入“S”型增长数学模型提高时间函数法的预测精度。然而，该方式容易导致“过拟合”现象，增加模型复杂度和参数反演难度。为克服该问题，引入了拟合残差和模型复杂度2个关键的优化选取指标，以来自7个不同地质采矿条件矿区的103个观测点时序沉降值为样本，采用理论分析与赤池信息量准则探讨了12种常见“S”型增长模型在煤矿区地表单点沉降过程描述中的优化选取。结果表明：①12种模型中，5个四参数模型的平均拟合残差为3.51 cm，明显优于二参数Knothe模型(14.10 cm)，但仅略优于6个三参数模型(4.78 cm)；②在兼顾拟合残差和模型复杂度的准则下，三参数模型普遍优于四参数和二参数，说明三参数模型比较适合描述矿区地表单点动态沉降过程，而四参数和二参数模型则分别存在“过拟合”(过度参数化)和“欠拟合”现象；③在6个三参数模型中，模型的优化选取与覆岩岩性有关。其中，软和中硬覆岩条件下，目前尚未被引入时间函数法的三参数Hossfeld模型能够较好地兼顾拟合残差小和模型复杂度低2个关键指标，但在坚硬覆岩条件下，Weibull模型表现则优于Hossfeld模型。
Abstract:The time function method is one of the most commonly used methods for predicting surface dynamic displacements in coal mine areas. In which, the accuracy and reliability of the predicted displacements, to a large extent, depends on the selected mathematical functions for describing the “S”-typed dynamic subsidence at a single surface point (referred to as time functions). Nearly all of the existing studies primarily improve or introduce “S”-shaped growth functions with a single object to minimizing the fitting residuals between thein-situmonitored and the model-fitted subsidence. Such a strategy, however, would result in “overfitting” (or over-parameterization), thereby increasing the complexity of the constructed time function model and the difficulty of model parameter inversion. To this end, the optimal selection of time functions was analyzed in this paper using two indicators of fitting residual and model complexity, rather than the former one in existing studies. More specifically, time-series subsidence observations at 103 field points in seven coal mining areas with different geological mining conditions were selected to be observation samples for ensuring the applicability of the optimal time function. Then, 12 common “S-shaped” growth models were chosen to candidates, and the theoretical analysis and Akaike information criterion (AIC) were further used to analyze the optimal selection of time function from the chosen 12 “S”-shaped models. The results show that: ① Among the 12 selected models, the mean mis-fitting error of the five four-parameter models is about 3.51 cm, which is obviously smaller than that of the two-parameter Knothe model (14.10 cm), but just slightly smaller than the six three-parameter models (4.78 cm); ② In the view of making a trade-off between fitting residuals and model complexity (assessing by the AIC), the AICs of the six three-parameter models are smaller than those of the four-parameter and two-parameter models.This indicates that the three-parameters models are preferrable to describe the temporal evolution of subsidence at a single point, and the four-parameter and two-parameters models may be over-fitted and under-fitted, respectively; ③ Among the six selected models, the optimal selection of time function is related to the lithology of the overburden rock strata; that is, Hossfeld model, which has not been introduced into the time function method, is preferrable under soft and medium-hard overburden strata, whereas Weibull model is preferrable under hard overburden strata.
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0. 引 言
西北生态脆弱区具有显著的“富煤、贫水、弱生态”特征。第四系萨拉乌苏组潜水是该区域惟一具有供水和生态意义水资源。潜水生态水位与区域植被生态、地质环境密切相关[1]。煤炭资源大规模开发，势必扰动生态水位变异，诱发原本脆弱的生态环境进一步恶化。因此，研究生态脆弱区煤层采动下生态水位变异程度对矿区生态地质环境保护、绿色矿山建设具有重要意义。
保水采煤的目标是在防治采场突水的同时，维持具有供水意义和生态价值的含水层稳定或将生态水位变化控制在合理范围内。为此，煤层采动下生态水位变异研究取得了系列成果。现场实测方面，结合地下水传感器监测钻孔潜水水位，分析了潜水位下降与煤层开采强度的关系[2]、潜水位波动与地表沉陷的耦合关系[3]、潜水位下降对干旱矿区植被蒸腾[4]及河岸区地下水蒸散发量的影响[5]、地下水位与干旱区生态系统关系[6]、保水采煤环境工程地质模式及保水采煤类型区域研究[7]。钻孔水位监测较难实现大区域全方位、小尺度、精细化监测，为此，结合数值模拟，分析了采矿活动和降雨事件对潜水位的影响规律[8–10]、预测了矿井涌水量及评价了矿区地下水资源[11–13]、研究了高强度煤层采动下最佳生态水位将至警戒水位的生态效应[14]，弥补了钻孔水位监测的不足。此外，基于偏差信息和非线性自回归神经网络混合模型[15]、创新趋势分析和Mann-Kendall方法[16]、频谱法和校正方法、时间序列分析法[17]等数学理论方法，在选择多个影响因素的基础上，预测采矿活动对地下水位的影响，但缺乏水位变化的物理意义。采矿活动影响下地下水演变机理方面，Abdullah Karaman等假设将采煤工作面看作移动抽水井，模拟了地面沉降对地下水位的影响[18]；随后采用类似曲线分析计算法建立了采矿速率、水力扩散系数与潜水水位的耦合关系[19]，探究了采矿活动影响下地下水位的演变规律。杨倩等[20]阐述了采动裂隙导水和变形压力作用下的承压水位变化机制，建立了地下水稳定运动、非稳定运动2种井流方程的覆岩承压含水层水位采动变化数学模型。李涛等[21]利用Theis公式与相似模拟试验相结合的方法，建立了煤层采动对地下水位恢复的井流预测模型。
当前研究集中于煤层采动潜水渗漏条件下生态水位如何下降，而往往忽略潜水不渗漏/采煤沉陷扰动下生态水位恢复演变规律。此外，采动生态水位演变往往依靠现场实测，水位恢复程度预测解析解不明确。基于此，笔者首先基于“关键层位置+薄板理论+土拱效应+下行裂隙”建立煤层采动下覆岩–土隔水层厚度计算方法，判别潜水渗漏状态；其次，结合2个工作面的潜水生态水位实测数据，研究煤层采动下潜水生态水位变化规律；然后，基于井流模型建立采煤沉陷扰动下生态水位恢复程度解析解；最后，对比分析生态水位恢复实测值与解析值，并探讨了生态水位未完全恢复的原因。
1. 煤层采动下潜水渗漏状态判别
1.1 覆岩残余隔水层厚度的确定方法
随着我国东部煤炭资源逐渐枯竭，煤炭开采重心已转移至西北生态脆弱区。西部地区主采侏罗系煤层，地表被第四系沙层所覆盖，其下的第四系萨拉乌苏组潜水含水层具有重要的生态意义。第四系潜水隔水层主要是新近系保德组红土与中更新统离石组黄土，西部地区地层综合柱状图如图1所示。
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图 1 西部矿区地层综合柱状图Figure 1. Comprehensive column chart of strata in the western mining area煤层采动后，形成覆岩导水裂隙带。目前煤层开采导水裂隙带发育高度(简称“导高”)预计的方法，主要针对我国东部石炭–二叠系煤层开采实测值总结。东部矿区主要以深井开采为主，而西部矿区开采主要为浅埋厚煤层，具有大采高、大采深的特点，上覆潜水隔水土层主要以黄土、红土为主，导水裂隙带易贯穿基岩进入(部分)土层，与东部矿区煤层埋藏以及开采条件大有不同，先前总结的经验公式难以实现西部矿区导高的准确预测[22–24]。
基于上述分析，针对西部矿区特征，结合已有研究成果，基于“关键层位置+薄板理论+土拱效应+下行裂隙”建立了覆岩–土结构下采动导高计算模型(图2)。首先，当覆岩当关键层位置距开采煤层大于7～10倍煤层采厚距离时，导高等于该关键层距开采煤层的高度[25]。反之，基于薄板理论计算主关键层上部基岩破断情况，即：通过对比薄板的极限挠度值与岩层下部自由空间高度的大小，判断各基岩岩层是否全部断裂，确定发育在基岩中的导高。若上部基岩岩层全部断裂，则需要判断导水裂隙带是否继续向上发育至土层。为此，基于普氏理论和岩体极限平衡理论确定土体破坏临界高度[26]。如果土层的厚度足够大，当土层被破坏到临界高度时，就会形成一个自然平衡拱，此时土层就不会继续垮落，导水裂隙带发育高度即为临界高度与基岩厚度之和。如果土层没有形成稳定拱，考虑采煤沉陷下行裂隙深度是否发育至基岩顶界面[27]，若两者贯通，导水裂隙带贯穿地表；若没有发育至基岩则导水裂隙带发育到土–岩交界面。综上，确定覆岩–土结构下采动导水裂隙带发育高度，为下述潜水渗漏状态判别提供理论依据。
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图 2 覆岩–土结构下采动导水裂隙带高度计算流程Figure 2. Flow of calculating the height of water fracture zone under overburden bedrock and soil structure1.2 考虑残余隔水层厚度的潜水渗漏状态判别
在确定覆岩–土结构下采动导高的基础上，确定覆岩残余隔水层厚度及其类型。为保证煤矿开采安全，通常根据松散层、黏性土层厚度以及采厚等因素留设防水或防砂安全煤岩柱，但是对于考虑残余隔水层厚度及其岩性组合的潜水渗漏状态无法判别。
为此，对于覆岩残余隔水层厚度与渗漏状态的确定，笔者在分析潜水渗漏模式阈值和残余隔水层厚度组合线性变化规律的基础上，确定潜水渗漏与否的阈值：红土、黄土和基岩厚度分别为22、36和120 m[26]。李涛等[28]采用水–电相似模拟得出：离石黄土42.6 m或保德红土21.0 m为潜水不发生渗漏的最小厚度。综上，对比分析残余隔水层厚度与渗漏阈值(表1)，确定潜水的渗漏状态。
表 1 潜水渗漏模式判断标准Table 1. Criteria for judging aquifer leakage modes渗漏情况 判断方法1 判断方法2 潜水不发生渗漏 $ \dfrac{x}{{22}} + \dfrac{y}{{36}} + \dfrac{{\textit{z}}}{{120}} - 1 \geqslant 0 $ $ \dfrac{x}{{42.6}} + \dfrac{y}{{21}} - 1 \geqslant 0 $ 潜水发生渗漏 $ \dfrac{x}{{22}} + \dfrac{y}{{36}} + \dfrac{{\textit{z}}}{{120}} - 1 < 0 $ $ \dfrac{x}{{42.6}} + \dfrac{y}{{21}} - 1 < 0 $ 注：x为残余红土厚度，m；y为残余黄土厚度，m；z为残余基岩厚度，m。 2. 采动沉陷扰动下生态水位实测
2.1 煤层采动潜水渗漏状态
在西北生态脆弱区金鸡滩煤矿108工作面和小保当煤矿01工作面分别开展采煤扰动下生态水位实测。为判断潜水渗漏状态，在108工作面布置了KY1、KY2两个钻孔实测煤层采动导高分别为170.55、178.45 m[14](图3)。在钻孔KY1中，残余基岩和土层的厚度分别为9.26、39.7 m。在钻孔KY2中，残余基岩和土层的厚度分别为19.16、26.8 m。对于01工作面，布置了钻孔S5测试导高为157.39 m[3](图4)，残余隔水基岩和土层的厚度分别为74.07、65 m。
此外，结合覆岩残余隔水层厚度的确定方法和工作面综合钻孔柱状图，确定01、108工作面覆岩主关键层与开采煤层的距离均大于7～10倍煤层采厚，基于此，导高等于该关键层距开采煤层的高度分别为：179.13、191.76 m。结合工作面综合柱状图，108工作面残余基岩和土层的厚度分别为10.58、33.25 m；01工作面残余基岩和土层的厚度分别为52.33、65 m。
结合上述潜水渗漏状态参与隔水层厚度阈值，确定01、108工作面煤层采动过程中潜水均未发生渗漏。
2.2 煤层采动下生态水位实测
为了监测工作面整个采煤期间潜水位变化，在108工作面设置了水位监测钻孔KY8和KY10(图3)。监测钻孔KY8位于工作面倾斜方向的中心，距离工作面终采线170 m；监测钻孔KY10位于108工作面运输巷上方，距离工作面终采线117 m (图3)。01工作面布置S5和S13三个水文监测钻孔(图4)。同时，监测各个钻孔孔口的地面沉降值。
KY8钻孔于2017–12–06开始监测，此时采煤工作面煤壁与监测钻孔KY8的水平距离为3.4 m。根据图5可将KY8水位及地面沉降变化分为4个阶段，分别为1—水位快速下降阶段；2—受地面迅速沉降影响水位短暂平稳阶段；3—地面沉降幅度减弱、水位缓慢上升阶段；4—地面沉降幅度进一步减小直至沉降稳定、水位逐渐稳定阶段。工作面过孔后24 d左右水位下降至最低点，采煤进尺远离钻孔并运动到终采线后钻孔处沉降幅度逐渐减小并趋于稳定，水位逐渐恢复。
01工作面S5钻孔于2019–04–10开始观测，潜水位随回采均表现出“先下降后回升”的规律，如图6所示。采煤工作面过孔后25 d左右各水文孔达到最低水位，与地表下沉具有同时性，即地表开始下沉时，潜水位开始下降，下降幅度基本一致。采后138 d左右采煤进尺远离钻孔并运动到终采线后钻孔处沉降幅度逐渐减小并趋于稳定，水位逐渐恢复[3]。
2.3 生态水位演变规律
根据01和108工作面采动潜水变化实测可知，对于某一观测点来说，地面沉降与水位下降同步，地面沉降的幅度将影响潜水位的下降速度：地表沉降活跃期，地表沉降速度急剧加快，甚至大于水位下降幅度，潜水位迅速下降；当地表沉降进入活跃阶段后期，地面沉降幅度逐渐减弱，潜水位逐渐稳定；地面沉降衰退阶段，地表沉降趋于稳定，潜水位易在大气降水和潜水侧向补给作用下逐渐回升，进入回升阶段。
因此，在煤层采动潜水不渗漏/采煤沉陷扰动条件下，生态水位呈现“迅速下降—缓慢回升—趋于稳定”的演化规律，但采后潜水水位通常不能完全恢复至采前水位。
3. 采煤沉陷扰动下生态水位恢复程度井流模型解析
为模拟测孔的潜水位在采煤后恢复所需要的时间，建立满足Theis公式的单井数学模型。将模拟恢复时间与上述实际测量恢复时间进行对比，研究采煤对水位波动的影响规律。
3.1 井流模型的建立
随着采煤进尺经过监测点并运动到停采线水位下降，将此过程的瞬时水位看作一口虚拟抽水井(图7)，以定流量Q在tp时间内抽水造成潜水位降落漏斗；而潜水位的恢复发生在采煤结束地面沉降稳定停止虚拟抽水后，将这一过程看作虚拟注水。因此潜水位降深s′与时间t的关系如图8所示，图中t′为水位恢复的时间，sr′为水位恢复期的修正剩余降深[29-30]。
3.2 井流模型的解析
数学模型的建立采用定流量的Theis公式
$$ s' = \frac{Q}{{4\pi T}}W(u) $$ (1) $$ W(u) = \int_u^\infty {\frac{{{{\mathrm{e}}^{ - y}}}}{y}} {\mathrm{d}}y $$ (2) $$ u = \frac{{{r^2}\mu }}{{4Tt}} $$ (3) $$ W(u) = \ln \frac{{2.25Tt}}{{{r^2}\mu }} $$ (4) 式(3)、(4)为Theis公式的简化形式。式中，s′为虚拟抽水井的降深，m；r为钻孔到虚拟抽水井的距离，m；u为含水层的给水度； T为含水层导水系数，m2/d，T=KM，K为含水层的渗透系数，m/d，M为初始含水层厚度，m；t为虚拟抽水开始到计算时刻的时间，d ；Q为虚拟抽水井的定流量，m3/d；W(u)为井函数；y为积分变量。
首先计算虚拟抽水流量Q，选取模型中非对称的两任意观测点，已知其虚拟抽水结束后的水位s1's2'，假定虚拟抽水井位置，预设r1 r2，结合井式(1)得到式(5)，即可以求出Q值，再把求出的Q值代入Jacob式(6)，得到近似的虚拟抽水进行的时间tp。
$$ K = \frac{{0.318\;3Q(\ln \;{r_2} - \ln \;{r_1})}}{{(2M - {s_1}' - {s_2}')({s_1}' - {s_2}')}} $$ (5) $$ s' = \frac{{0.183Q}}{T}\lg \frac{{2.25T{t_{\mathrm{p}}}}}{{{r^2}\mu }} $$ (6) 根据计算出的Q值和tp值代入恢复期的Thies式(7)，其等价于同流量的虚拟抽水和虚拟注水的叠加，并代入任意降深可以求出对应的恢复所用时间t'。
$$ {s_{\mathrm{r}}}' = \frac{Q}{{4\pi T}}\left(\ln \frac{{t' + {t_{\mathrm{p}}}}}{{t'}} - \frac{{{r^2}\mu }}{{4Tt'}}\right) $$ (7) 根据井流模型解析生态水位波动过程的流程如图9所示。
4. 采煤沉陷扰动下生态水位恢复程度预测
4.1 生态水位恢复实测值与预测值对比分析
根据两工作面已有的工程地质、水文地质参数，结合2.2节中的水位监测数据，使用3.2节中所述的方法，能够对108工作面和01工作面的生态水位恢复程度进行预测解析。
01工作面中，$ K = 3.5\;{\mathrm{m/d}}，M = 10\;{\mathrm{m}}，T = KM = 35\;{{\mathrm{m}}}^{2}/{\mathrm{d}}，\mu =0.27 $。选取2.2节中测量出的S5和S13钻孔的水位降深以及其距离虚拟井的水平距离$ s'_1=2.595\;{\mathrm{m}}，s'_2=1.679\;{\mathrm{m}}，{r}_{1}=120\;{\mathrm{m}}，{r}_{2}= 128.5\;{\mathrm{m}} $为观测数据代入式(5)计算出虚拟抽水井的流量Q=2 314.479 m3/d。将流量Q代入抽水阶段的Jacob式(6)得出虚拟抽水时间$ {t}_{p}=26.94\;{\mathrm{d}} $，S5观测井实际抽水时间为27 d (图10中的I阶段)。S5水位恢复到第1个峰值时的水位降深为1.635 m，将虚拟抽水井流量Q和虚拟抽水时间tp代入式(7)可以得出虚拟注水时间t'=27.37 d，实际恢复时间为26 d (图10中的II–1阶段)；恢复到最高水位时的水位降深为1.081 m，虚拟注水时间t'=64.26 d，实际恢复时间为63 d (图10中的II–2阶段)。
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图 10 S5钻孔水位波动预测时间与实际时间对比Figure 10. Comparison between predicted time and actual time of water level fluctuation in S5 borehole108工作面KY8钻孔的生态水位恢复过程解析[30]，得出KY8观测井虚拟抽水时间$ {t}_{{\mathrm{p}}}=243.988\;{\mathrm{d}} $，实际抽水时间为244 d(图11中的I阶段)。KY8观测井虚拟水位恢复到60%时，得$ t'_{60\%}=23.715\;{\mathrm{d}} $；KY8观测井实际恢复时间为20 d左右(图11中的II–1阶段)；恢复到110%时$ s'_{1\tau }=2.267\;{\mathrm{m}} $， $ t'_{110\%}= 42.127\;{\mathrm{d}} $；实际为40 d左右(图11中的II–2阶段)；恢复到200%时，$ t'_{200\%}=78.178\;{\mathrm{d}} $；实际为80 d左右(图11中的II–3阶段)。
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图 11 KY8钻孔水位波动预测时间与实际时间对比Figure 11. Comparison between predicted time and actual time of water level fluctuation in KY8 borehole以上模拟过程的计算结果与实测结果之间存在一定误差，主要来源于计算过程中对井公式的简化带来的误差，以及开采过程中地面沉降带来的上覆隔水层的变化会对结果造成影响。但是误差较小，因此可以通过建立井流模型与实际测量数据相结合来估计采煤后的水位恢复时间。
4.2 生态水位未完全恢复原因
综合现场监测和解析模型生态水位变化数据可知：潜水不渗漏情况下采动生态水位下降主要由采煤沉降导致。随着地面沉降速度下降并趋于0，生态水位会有一定程度恢复，但通常在相当长时间内不能完全恢复至采前生态水位。笔者认为主要由地表地形地貌、大气降雨补给、潜水含水层补径排、矿区井下疏放水等综合因素诱发采后生态水位未能完全恢复。
其中，地形地貌控制着潜水水位的分布特征，潜水面形态与地表形态基本一致，采煤扰动下地表地形、微地貌均会发生变化，尤其在采煤沉陷盆地范围内，生态水位也相应发生变化。若煤层采动区域内潜水含水层分布局限，侧向补给缺乏[3]，或大气降水补给条件较差，无法弥补由于沉陷引起的生态水位下降程度就会导致采煤沉陷扰动下生态水位无法完全恢复。为了防治矿井水害，井下通常采取钻孔疏放水的措施，易诱发区域地下水系统中各含水层出现不同程度的补给排泄，进而会导致生态水位未能恢复至采前状态。
5. 结 论
1)针对西部矿区特征，基于关键层位置+薄板理论+土拱效应+下行裂隙建立了采动覆岩–土结构下导水裂隙带高度计算模型，结合覆岩残余基岩和土层阈值，构建了煤层采动下潜水渗漏状态判别方法。
2)在煤层采动潜水不渗漏/采煤沉陷扰动条件下，生态水位呈现迅速下降→缓慢回升→趋于稳定的演化规律，但采后潜水水位往往不能完全恢复至采前水位。
3)建立了采煤沉陷扰动下生态水位恢复程度井流解析模型，对比实测结果表明：生态水位不同恢复程度的恢复时间解析值与实测值误差均小于10%。
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图 1 长壁采煤导致的地表单点沉降量、沉降速度和加速度演化过程示意
Figure 1. Schematic of temporal evolution of subsidence, velocity and acceleration at single surface point caused by longwall coal mining
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图 2 12种模型在7个矿区地表单个观测样本点动态沉降的拟合效果对比
Figure 2. Comparison of 12 models for fitting time-series subsidence observations at single point in seven different mining areas
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图 3 12种模型的
$\Delta $ AIC分级占比统计Figure 3. Percent of selected 12 models at Level-I, II, and III based on
$\Delta $ AIC estimates![]()
图 4 Level-III等级下Hossfeld和Weibull模型的拟合效果对比
Figure 4. Comparison diagram of fitting effects of Hossfeld and Weibull models at Level-III Level
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图 5 12种选取模型在选取的样本点的拟合均方根误差统计直方图
Figure 5. Frequency of root mean square errors of the selected 12 “S-shaped” models for fitting the dynamic subsidence at the selected 103 observation points
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图 6 12种模型拟合均方根误差划定的Level-I、Level-II和Level-III的占比对比
Figure 6. Comparison of the RMSE levels (I, II, and III) of the selected 12 models
表 1 12种“S”型增长模型在
$t = 0$ 和$t \to \infty $ 时的沉降量、速度和加速度特征Table 1 Comparison of subsidence, velocity, and acceleration of the selected 12 “S-shaped” time functions at the dates
$t = 0$ and ,$t \to \infty $ respectively时间函数 下沉量$ y $ 下沉速度$ y' $ 下沉加速度$y''$ $ t=0 $ $ t \rightarrow \infty $ y y' y'' y y' y'' Knothe $y=a\left(1-{\rm{e}}^{-c t}\right)$ $y'=a c {\rm{e}}^{-c t}$ $y''=-a c^{2} {\rm{e}}^{-c t}$ 0 ac $ -a c^{2} $ a 0 0 Weibull $y=a\left(1-{\rm{e}}^{-b t^c}\right)$ $y'=a b c t^{c-1} {\rm{e}}^{-b t^{c} }$ $y''=a b c {\rm{e}}^{-b t^c} t^{c-2}\left[(c-1)-b c t^c\right]$ 0 0 0 a 0 0 Logistic $y=\dfrac{a}{1+b {\rm{e}}^{-c t} }$ $y'=\dfrac{a b c}{{\rm{e}}^{c t}\left(b {\rm{e} }^{-c t}+1\right)^2}$ $y''=\dfrac{a b c^2}{{\rm{e}}^{c t}\left(b {\rm{e}}^{-c t}-1\right)^2}\left[\dfrac{2 b}{{\rm{e}}^{c t}\left(b {\rm{e}}^{-c t}+1\right)}-1\right]$ $ \dfrac{a}{1+b} $ $ \dfrac{a b c}{(1+b)^{2}} $ $ \dfrac{a b c^{2}(c-1)}{(1+b)^{3}} $ a 0 0 Gompertz $y=a {\rm{e}}^{1-b {\rm{e}}^{-c t} }$ $y'=a b c {\rm{e} }^{-c t} {\rm{e}}^{\left(1-b {\rm{e} }^{-c t}\right)}$ $ y''=a b c^2 e^{-c t} e^{\left(1-b e^{-c t}\right)}\left(b e^{-c t}-1\right)$ $a {\rm{e}}^{1-b}$ $a b c {\rm{e}}^{1-b}$ $a b c^2(b-1)^* {\rm{e}}^{1-b}$ ae 0 0 Bertalanffy $y=a\left(1-b {\rm{e}}^{-c t}\right)^{-3}$ $y'=-3 a b c {\rm{e}}^{-c t}\left(1-b {\rm{e}}^{-c t}\right)^{-4}$ $\begin{aligned}y''= & 3 a b c^2 {\rm{e} }^{-c t}\left(1-b {\rm{e} }^{-c t}\right)^{-4}+ \\& 12 a b^2 c^2 {\rm{e} }^{-2 c t}\left(1-{\rm{e} }^{-c t}\right)^{-5}\end{aligned}$ $ \dfrac{a}{(1-b)^{3}} $ $ \dfrac{-3 a b c}{(1-b)^{4}} $ $ \dfrac{3 a b c^{2}}{(1-b)^{4}} $ a 0 0 Hossfeld $ y=\dfrac{t^c}{b+t^c / a}$ $y'=\dfrac{b c t^{c-1}}{\left(b+t^c / a\right)^2}$ $y''=y'\left[\dfrac{c-1}{t}-\dfrac{2 c t^{c-1} }{a\left(b+t^c / a\right)}\right]$ 0 0 0 a 0 0 Leavokic-Ⅲ $y=a\left(\dfrac{t^2}{b+t^2}\right)^c $ $ y'=\dfrac{2 b c y}{t\left(b+t^2\right)} $ $y''=2 b c \dfrac{t\left(b+t^2\right) y'-\left(3 t^2+b\right) y}{t^2\left(b+t^2\right)^2}$ 0 0 0 a 0 0 Leavokic-Ⅰ $ y=a\left(\dfrac{t^d}{b+t^d}\right)^c $ $y'=b c d \dfrac{y}{t\left(b+t^d\right)}$ $y''=\dfrac{t\left(b+t^d\right) y'-\left[(d+1) t^d+b\right] y}{t^2\left(b+t^d\right)^2}$ 0 0 0 a 0 0 Yoshida $y=\dfrac{a t^d}{b+t^d}+c $ $ y'=\dfrac{t^{d-1}}{\left(b+t^d\right)^2} $ $y''=\dfrac{t^{d-2} }{\left(b+t^d\right)}\left[(d-1)-\dfrac{2 d t^d}{b+t^d}\right]$ c 0 0 a+c 0 0 Sloboda $y=a {\rm{e}}^{-b {\rm{e}}^{-c t^d} }$ $y'=b c d t^{d-1} {\rm{e}}^{-c t^d} y$ $\begin{array}{l}y'' = {t^{d - 1} }{{\rm{e}}^{ - c{t^d} } }y' + \\\left[ {(d - 1){t^{d - 2} } - dc{t^{2d - 2} } } \right]{{\rm{e}}^{ - c{t^d} } }y\end{array}$ $a {\rm{e}}^{-b}$ 0 0 a 0 0 Richards $y=a\left(1-b {\rm{e}}^{-c t}\right)^{\dfrac{1}{1-d} }$ $\begin{array}{l}y' = {\left( {1 - b{ {\rm{e} }^{ - ct} } } \right)^{\frac{d}{ {1 - d} } } }\\{ {\rm{e} }^{ - ct} } y/(1 - d)\end{array}$ $\begin{array}{l}y'' = abc{\left[ {b{ { {{\rm{e}}} }^{ - ct} } - (1 - d)} \right]\times}\\{ {\rm{e} }^{ - ct} }{\left( {1 - b{e^{ - ct} } } \right)^{\left( {\frac{1}{ {1 - d} } - 2} \right)} }/{(1 - d)^2}\end{array}$ $a(1-b)^{\dfrac{1}{1-d}}$ $\dfrac{a b c(1-b)^{\dfrac{d}{1-d}}}{(1-d)}$ $\dfrac{a b c(b-1+d)(1-b)^{\left(\dfrac{1}{1-d}-2\right)} }{(1-d)^2}$ a 0 0 Boltzmann $y=b+\dfrac{a-b}{1+{\rm{e} }^{(t-c) / d} }$ $y'=\dfrac{(a-b) {\rm{e}}^{[(t-c) / d)]} }{d\left[1+{\rm{e}}^{(t-c) / d}\right]^2}$ $y''=y' \dfrac{{\rm{e}}^{((c-t) / d)}-1}{d {\rm{e}}^{[(c-t) / d+1]} }$ $\dfrac{a+b {\rm{e}}^{-\dfrac{c}{d} } }{{\rm{e}}^{-\dfrac{c}{d} }+1}$ $\dfrac{(a-b) {\rm{e}}^{-\dfrac{c}{d} } }{d \left({\rm{e}}^{-\dfrac{c}{d} }+1\right)^2}$ $\dfrac{{\rm{e}}^{(c / d-1)} }{{\rm{e}}^{(c / d+1)^3} } \dfrac{(a-b) {\rm{e}}^{(c / d} )}{d^2}$ a 0 0 注：a、b、c、d为时间函数模型参数。 
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表 2 基于
$\Delta $ AIC分类参照标准Table 2 Reference based on
$\Delta $ AIC classification水平 $\Delta $AIC 差异强弱 推荐使用等级 Level-I 0～2 弱差异 最高 Level-II 2～6 中等差异 适中 Level-III >6 强差异 较低
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表 3 103个沉降观测值样本所处矿区的松散层和覆岩力学特征对比
Table 3 Lithology of the seven interesting mining areas where subsidence observations at 103 surface points were collected
矿区信息 松散层厚度 覆岩岩性 观测点数量 东营市某矿 巨厚松散层 中硬 26 宿州市某矿 厚松散层 中硬 15 榆林市某矿 厚黄土层 中硬 7 淮北市某矿 厚松散层 软弱 7 唐山市某矿 厚松散层 中硬 16 阳泉市某矿 薄松散层 坚硬 17 丰城市某矿 薄松散层 中硬 15
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